Représentation d'interaction

La représentation d'interaction ou représentation de Dirac de la mécanique quantique est une manière de traiter les problèmes dépendant du temps.

Condition d'application de la représentation d'interaction

Dans la représentation d'interaction, on applique les hypothèses suivantes :

On considère un hamiltonien ayant la forme suivant :

$\hat H = \hat H_0 + \hat V(t)$

où $\hat H_0$ est constant dans le temps et $\hat V(t)$ décrit une interaction perturbative qui peut dépendre du temps.

Les états propres sont dépendants du temps
Les opérateurs sont aussi dépendants du temps
La dynamique des états est décrite suivant la représentation de Schrödinger alors que la dynamique des opérateurs est décrite suivant la représentation de Heisenberg.
La représentation de Dirac ne s'applique efficacement qu'à certains problèmes. L'exemple le plus parlant est celui des perturbations dépendant du temps.

Propagateurs

Pour reconnaitre qu'on travaille dans la représentation d'interaction, les états et les opérateurs seront suivis de l'indice "I" (comme interaction). Le sens de cette représentation tient en ce que la dépendance en temps due à $\hat H_0$ sera prise en compte dans la dépendance explicite des observables selon le temps et la dépendance en temps due à $\hat V(t)$ dans le développement de la fonction d'onde. C'est une autre façon de décrire la même physique. Ceci veut dire que les grandeurs physiques significatives sont inchangées.

Il y a deux opérateurs d'évolution dans le temps :

l'opérateur "normal" relatif à l'hamiltonien complet $\hat H$

$\hat U(t,t_0)=eˆ{-i\hat H(t-t_0)/\hbar}$

l'operateur relatif à l'hamiltonien non perturbé $\hat H_0$

$\hat U_0(t,t_0)=eˆ{-i\hat H_0(t-t_0)/\hbar}$

Définition des hamiltoniens et fonction d'onde d'interaction

L'opérateur dépendant du temps $\hat A_I(t)$ s'écrit comme dans la représentation de Heisenberg

$A_I(t)=\hat U_0ˆ{\dagger}(t,t_0)\hat A_S (t_0)\hat U_0(t,t_0)={\rm e}ˆ{\frac{i\,\hat H_0(t-t_0)}{\hbar}}\hat A_S (t_0){\rm e}ˆ{-\frac{i\,\hat H_0(t-t_0)}{\hbar}} \, .$

l'état dépendant du temps $|\psi(t)\rangle_I$ n'est accessible qu'indirectement, par réduction (dans la représentation de Schrödinger) de l'état de la dynamique complète $|\psi(t)\rangle_{\rm S}$ , pour définir.

$|\psi(t)\rangle_I =\hat U_0ˆ{\dagger}(t,t_0)|\psi(t)\rangle_S ={\rm e}ˆ{\frac{i\,\hat H_0(t-t_0)}{\hbar}}|\psi(t)\rangle_S \, .$

À partir de là nous définissons aussi l'opérateur dépendant du temps $H I (t)$ :

$\hat H_I (t) ={\rm e}ˆ{\frac{i\,\hat H_0(t-t_0)}{\hbar}}\hat H_0{\rm e}ˆ{-\frac{i\,\hat H_0(t-t_0)}{\hbar}} \, .$

Équations d'évolution de la fonction d'onde et des observables

L'évolution de la fonction d'état s'écrit dans cette représentation :

$i \hbar \frac{d}{dt} | \psi_{I} (t) \rang = \hat H_0 | \psi_{I} (t) \rang$ .

Cette équation est connue sous le nom d'équation de Schwinger-Tomonaga. L'évolution de la grandeur physique représentée par l'opérateur A s'écrit :

$i\,\hbar\frac{{\rm d} \hat A_I}{{\rm d}t}=\left[\hat A_{\rm I}(t),\hat H_0\right] +\frac{\partial \hat A_I }{\partial t}$

	Représentation :
	Heisenberg	Interaction	Schrödinger
Ket	constant	$\|\Psi(t)\rangle_I = U_0ˆ{-1} \|\Psi(t)\rangle_S$	$\|\Psi(t)\rangle_S = U \|\Psi(t_0)\rangle_S$
Observable	$A H (t) = U - 1 A S U$	$A_I (t)=U_0ˆ{-1} A_S U_0$	constant
Opérateur d'évolution	$\hat H = \hat H_0 + \hat V(t)$	$U(t,t_0) = eˆ{-\frac i \hbar \hat H(t-t_0)}$ $U_0(t,t_0) = eˆ{-\frac i \hbar \hat H_0(t-t_0)}$
Mécanique quantique : Théorème d'Ehrenfest • Équation de Schrödinger • Propagateur

Voir aussi

A. Messiah, Mécanique Quantique (Dunod)
J. L. Basdevant, Cours de mécanique quantique de l'école Polytechnique (Ellipses)
J. J. Sakurai et s. F. Tuan, Modern Quantum Mechanics, Benjamin-Cummings 1985, Reading, Addison-Wesley 2003

Recherche sur Amazone (livres) :

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Repr%C3%A9sentation_d%27interaction.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 13/04/2009.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.