Quantité de mouvement

En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse ainsi qu'à la masse d'un objet. Elle fait partie, avec l'énergie, des valeurs qui se conservent lors des interactions entre éléments du dispositif.

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Elles sont de valeurs numérique identiques, mais de sens contraire, ce qui veut dire que m1*v1 = - m2*v2 (la quantité de mouvement est une grandeur vectorielle), ... (source : accrodavion.jexiste)

En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse ainsi qu'à la masse d'un objet. Elle fait partie, avec l'énergie, des valeurs qui se conservent lors des interactions entre éléments du dispositif. Cette loi, en premier lieu empirique, a été expliquée par le théorème de Nœther et est liée à la symétrie des équations de la physique par translation dans l'espace.

Quantité de mouvement et impulsion sont fréquemment confondues à cause de leur coïncidence dans la majorité des cas. Néanmoins en principe ces deux grandeurs sont différentes^[1].

En mécanique classique

En mécanique classique, la quantité de mouvement d'un point matériel de masse $m\,$ animé d'une vitesse $\vec{v}$ , est définie comme produit de la masse et de la vitesse :

$\vec{p}=m\vec{v}$

C'est par conséquent, comme la vitesse, une grandeur vectorielle.

L'unité SI de la quantité de mouvement est le kg $\cdot$ m $\cdot$ s^-1.

Variation de quantité de mouvement

Une variation de quantité de mouvement consécutive à l'action d'une force est calculée comme étant l'intégrale de la force au cours de la durée d'action de la force. Pour la calculer, considérons un objet de quantité de mouvement d'origine $\mathbf{p}_1=\mathbf{p}(t_1)$ à un instant $t 1$ . Cet objet subit une force $\mathbf{F}(t)$ pendant une durée $t 2 - t 1$ . L'intégrale de cette force comparé au temps, pendant cette durée, est identique à :

$\mathbf{I}=\int_{t_1}ˆ{t_2}\mathbf{F}(t)\,\mathrm{d}t$

En utilisant la définition de la force $\mathbf{F}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}(t)}{\mathrm{d}t}$ , on obtient :

$\mathbf{I}=\int_{t_1}ˆ{t_2}\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}(t)}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t = \int_{\mathbf{p}_1}ˆ{\mathbf{p}_2}\mathrm{d}\mathbf{p}=\mathbf{p}_2-\mathbf{p}_1=\Delta \mathbf{p}$

L'usage, dérivé de l'appellation anglo-saxonne impulse, est d'appeler cette grandeur impulsion. Néanmoins, en toute rigueur, en français impulsion sert à désigner le moment linéaire, grandeur de la mécanique lagrangienne. Quand la durée d'action de la force est particulièrement courte, la grandeur I précédente est nommée percussion mécanique, à cause de son importance dans la théorie des chocs.

Théorème du centre d'inertie pour un dispositif

En mécanique classique, l'application des lois de Newton sert à démontrer le théorème du centre d'inertie qui apparaît comme la généralisation de la seconde loi de Newton pour un dispositif quelconque (solide ou ensemble de points matériels, ensemble de solides) :

Si $M\,$ sert à désigner la masse totale du dispositif et $G\,$ son centre d'inertie, alors, la quantité de mouvement du dispositif est :

$\vec{P}=M\vec{V_{G}}$

$\vec{V_{G}}$ désignant par conséquent la vitesse du centre d'inertie du dispositif et $M$ la masse totale du dispositif.

Le théorème s'énonce alors ainsi : la variation de la quantité de mouvement du dispositif est identique à la somme des forces extérieures s'exerçant sur le dispositif :

${{d\vec{P}} \over {dt}} = \sum \vec{F_{ext}}$

Cette relation est principale : c'est elle qui permet d'étudier le mouvement d'un solide sans avoir besoin de connaître les forces de liaison interatomique. Elle permet de étudier tout autant la chute d'une pomme que le mouvement de la Lune autour de la Terre.

Un cas spécifique important : si on imagine le choc de deux objets (ou particules) pour lequel la somme des forces extérieures (au dispositif constitué de ces 2 objets) est nulle (ou négligeable), alors la quantité de mouvement totale se conserve : elle est la même après le choc qu'avant le choc, et ce en dépit des interactions qui ont eu lieu au cours du choc. C'est d'ailleurs l'étude des chocs qui a conduit Descartes à penser qu'une certaine quantité du mouvement était obligatoirement conservée.

Moment cinétique

Le moment cinétique d'un point M materiel de masse m et de vitesse v en un point A peut s'exprimer ainsi : $\vec{\sigma_A}(M)=\vec{AM} \wedge m\vec{v}$ soit :

$\vec{\sigma_A}(M)=\vec{AM} \wedge \vec{p}$

En mécanique lagrangienne

En mécanique lagrangienne, si on note $L(x, \dot{x})\,$ le lagrangien du dispositif avec $x\,$ une coordonnée de position du dispositif et $\dot{x}\,$ sa dérivée comparé au temps, on obtient la composante de la quantité de mouvement suivant la direction x par :

$p_x = \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x}}}$

Cette relation, qui en réalité définit le moment conjugué de la position (ou impulsion), n'est cependant pas générale. Dans le cas surtout d'une particule chargée en mouvement dans un champ électromagnétique la quantité de mouvement est définie par^[2] :

$p_x = \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x}}} - q A_x$ où q est la charge électrique de la particule et A est le potentiel vecteur.

En mécanique relativiste

La quantité de mouvement est une grandeur conservée lors de transformations de translation. Sinon, cela impliquerait une modification sans cause de la position du centre de gravité d'un dispositif de deux corps élastiques qui se percutent.

Aussi, quand Albert Einstein formula sa théorie de la relativité restreinte, il adapta la définition de la quantité de mouvement pour que celle-ci soit aussi conservée lors de transformations relativistes. La grandeur ainsi obtenue se nomme un quadri-moment, c'est une grandeur vectorielle à quatre dimensions qui combine la quantité de mouvement classique et l'énergie :

$\begin{bmatrix}E/c & p_x & p_y & p_z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}E/c & \mathbf{p}\end{bmatrix}$

où

$\mathbf{E} = \gamma m cˆ2$ est l'énergie totale

$\mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v}$ est la quantité de mouvement relativiste

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{vˆ2}{cˆ2}}}$ est un facteur nommé gamma relativiste ou facteur de Lorentz

$c\,$ est la vitesse de la lumière

La norme de ce quadrivecteur est la grandeur qui reste invariante lors d'une transformation de Lorentz (un changement relativiste de référentiel) :

$(E/c)ˆ2-\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}$

Les objets de masse nulle, tels que les photons, possèdent aussi un 4-moment où la pseudo-norme du quadri-vecteur p est nulle. On a dans ce cas :

$\mathbf{E}ˆ2-pˆ2 cˆ2 = mˆ2 cˆ4=0$ d'où

p = E / c

pour la norme de la quantité de mouvement classique.

En mécanique quantique

En mécanique quantique, la quantité de mouvement est définie comme opérateur agissant sur la fonction d'onde. La quantité de mouvement dans la direction $x$ , pour une particule sans charge électrique et sans spin, vaut (en utilisant les unités naturelles $\hbar=c=1$ ) :

$p_x=-i\frac{\partial}{\partial x}$

et par conséquent le vecteur $\mathbf{p}$ vaut :

$\mathbf{p}=-i\nabla$ .

Le principe d'incertitude d'Heisenberg impose une limite à la précision avec laquelle la quantité de mouvement et la position d'un dispositif observable simple peuvent être simultanément connus.

Notes et références

↑ C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions], tome I, 1977 : Chapitre III, B, p. 225
↑ J. -P. Pérez, Mécanique, 3^e édition, 1992, p. 306

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