Saturation des inégalités d'Heisenberg

Le principe d'incertitude est lié à un théorème d'inégalité. L'inégalité d'Heisenberg est dite saturée lorsqu'il y a identiqueité.

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... De nuit, en état d'ébriété ou d'extasie, Tr peut monter à plus d'une...... quel que soit le ket | ψ >, l'inégalité est dite saturée pour... le calcul de cet opérateur d'évoultion est simple :... cette fonction sature l'inégalité d'Heisenberg : toute autre donnera par conséquent une energie supérieure.... (source : fr.wikibooks)

Le principe d'incertitude est lié à un théorème d'inégalité. L'inégalité d'Heisenberg est dite saturée lorsqu'il y a identiqueité. Il est fréquemment intéressant d'étudier l'état | $ψ$ > pour lequel cette saturation est vérifiée : si $\hat A \hat B - \hat B \hat A = i \hat C$ , alors au mieux :

$<img class=$ variance d'une grandeur A est donnée par { la moyenne du carré Aˆ2 moins le carré de la moyenne de A.

Rappel de la démonstration du théorème d'inégalité

L'énoncé du théorème est (cf principe d'incertitude) :

Soit A et B deux opérateurs observables qui ne commutent pas : alors on ne peut pas mesurer simultanément A et B ! Le manque de précision est relié à leur commutateur iC. L'opérateur C est hermitien, par conséquent est réel.

Soit dans l'état | $ψ$ > la variance de A, var (A) et de même var (B), celle de B :

$<img class=$ ψ > et |g> = B1|

ψ

donne var (A). var (B) > ||².

Or A1. B1 = So/2 +iC/2 (avec 2So := A1. B1 + B1. A1, et par conséquent est réel)

Donc var (A). var (B) > 1/4 ² + 1/4 ², avec saturation ssi |f> = k |g>

Saturation

Il y a saturation si A1 | $ψ$ > = k B1 | $ψ$ > : cet état réalise le minimum d'incertitude.

Par addition, k var (A) +1/k var (B) = 2 qui est nulle dans ce cas (on dit quelquefois que la corrélation quantique de A et B est nulle) ; et par soustraction que k var (A) -1/k var (B) = i,

d'où la valeur de k : k = i/2var (A) = -2var (B) /i ; ce qui permet fréquemment d'évaluer k.

Alors on dit que A1-k. B1 annihile l'état saturé.

Application à la particule libre

Si la particule est libre, en considérant A= opérateur P et B = opérateur X, on trouve immédiatement :

$[P,X]= -i\hbar$ , par conséquent $C= -1\hbar$ . D'où la valeur de k : k = -i $2var(X)/ \hbar$ , et (P-p0) = k (X-x0) dans l'état saturé. Soit en résolvant cette équation différentielle du premier ordre :

$\psi(x) = N exp-[\frac{(x-x0)ˆ2}{4v(X)}]$ . $exp[\frac{ip_0 x}{\hbar}]$ , avec $N = \frac{1}{[2\pi var(X)]ˆ\frac{1}{4}}$

C'est le paquet d'ondes gaussien, avec bien entendu var (X). var (P) =1/4. $\hbarˆ2$ .

Retrouver une gaussienne n'est pas trop surprenant; mais une faille importante s'introduit dans la dépendance temporelle, à cause de la dispersion inévitable de $ψ (x, t)$ : le paquet d'onde va s'étaler dans le temps. Il faudra par conséquent qu'un potentiel intervienne pour limiter la dispersion. C'est l'objet du paragraphe suivant.

Application à l'oscillateur harmonique

Dans le cas du potentiel 1/2 K x², on a toujours

var (X). var (P) = 1/4 $\hbarˆ2$ ,

Donc l'énergie E = 1/2 K. var (X) +1/2 var (P) /m est bornée inférieurement par :

$2\sqrt{\frac{K\hbarˆ2}{16m}} = \frac{\hbar \omega}{2}= Eo$ .

pour la saturation, E= Eo et l'opérateur d'annihilation donnera toujours un paquet d'onde gaussien, mais cette fois la variance est indépendante du temps et on a :

$<img class=$ Ordre de grandeur littéral), ce qui conduit à var (X) ∼ d² 1/1836. A. B/ (A+B) : inutile par conséquent de donner les distances interatomiques à mieux que 3%.

Cas de l'helium :Il existe des cas plus étonnants : supposons que la liaison ne soit pas covalente mais plutôt de Lenard-Jones (modèle des liaisons de Van der Waals) comme dans un cristal de gaz rare : alors K est bien moins élevée et on peut dans le cas de l'hélium se retrouver avec une vibration quantique à température nulle, var (X) ∼ d²/10 : or ce critère est celui de Lindemann, pour la possibilité de diffusion des atomes du cristal : celui perd sa cohésion, c'est un LIQUIDE. Ainsi explique-t-on l'anomalie de l'hélium qui est l'unique corps impossible à cristalliser par refroidissement seul : il faudra en quelque sorte "raidir" la valeur de K en appliquant une pression pour obtenir l'hélium stable en phase solide : c'est ici, une jolie application de l'inégalité d'Heisenberg.

Application à la cuvette 1/n A xˆn

A nouveau, l'état essentiel correspondra à la saturation, avec cette caractéristique = 1/4. $\hbarˆ2$ /m v (X). et le théorème du viriel donnera /n-1 = = Eo/n ; ce qui donne (ne serait-ce que par analyse dimensionnelle) :

$E_0ˆ{n+1}= c_n A(\frac{\hbarˆ2}{m})ˆ{n/2}$
$v(X)ˆ{(n+2)/2} = c'_n \frac{\hbarˆ2}{mA}$
le paquet d'onde "saturé" reste par conséquent gaussien ( ? bizarre).

Application à l'oscillateur 3D

Dans le cas du potentiel 1/2 k (x² + y² + z²), il est clair que la séparation des variables donne immédiatement la fonction d'onde : $\psi(x,t) = N eˆ{-[3rˆ2/4 r_0ˆ2]} eˆ{-\frac{3 i \omega t}{2}}$ , avec :

$2/2.K.r_0ˆ2) := E_0 = \frac {3 \hbar \omega}{2}$

Mais pour pouvoir traiter l'atome d'hydrogène, on va introduire l'inégalité d'Heisenberg radiale, ce qui est assez moins étudié dans la littérature.

Inégalité d'Heisenberg radiale

On considère seulement les états s, à symétrie radiale.

Soit R l'opérateur tel que R² = X² + Y² + Z² := X1² + X2² + X3², en changeant de notation pour pouvoir peut-être généraliser (idem pour P)

Le commutateur de P1 et de R est [P1, R] = -i X1/r (on a pris $\hbar = 1$ ).

Et par conséquent on reconnaît la dérivation usuelle : [P1, g (R) ] = -i (X1/r). g' (R).

Soit A1 l'opérateur A1 := P1 + k X1. f (R), k réel, f (r) aussi.

Soit N l'opérateur N := A1*. A1 + A2*. A2 + A3*. A3 (parce qu'on pense à la généralisation de l'opérateur nombre de bosons)

Le calcul donne : N = P² +k². r². f (R) ² + k (3f (R) + R. f' (R) ), opérateur positif pour tout k.

D'où l'inégalité d'Heisenberg radiale pour les états s de symétrie radiale :

$<img class=$

Application à l'atome d'hydrogène

Dans le cas du potentiel V (r) = -e²/r, choisir f (r) = 1/r :

L'inégalité d'Heisenberg saturée s'écrit cette fois :

$<img class=$ /a

on en déduit que la fonction d'onde est annihilée par A1 := P1 - $i\hbar$ /a. 1/R, soit aussi, puisque la fonction d'onde ne dépend que de r,

$[\frac{d}{dr} + {1 \over a }]\psi(r)=0$ .

D'où il résulte que $\psi(r) = N eˆ{-\frac{r}{a}}$ :

Il s'agit de la fonction d'onde saturée (naturellement, on vérifie que <1/R> = 1/a).

Energie minimale : l'inégalité d'Heisenberg donne aussi :

E = + > = var (P) /2m -e²<1/R> = $\frac{\hbarˆ2}{2maˆ2} -\frac{eˆ2}{a}$ ,

égalité toujours vraie, pour tout état s.

Cette énergie est minimale lorsqu'elle est saturée et que a (moyenne harmonique de r) vaut :

$a = a_0 := \frac{\hbarˆ2}{meˆ2}$ , d'où $E = E_0 = 1/2 E_p = - \frac{eˆ2}{2a_0}$

(conformément au théorème du viriel).

On a ainsi trouvé ce que ne pouvait pas donner la théorie de l'atome de Bohr (il y avait inexistence des états s) : la non-commutativité et la saturation de l'inégalité d'Heisenberg sont ainsi inscrits au cœur profond de la Mécanique quantique.

Remarque interrogative : y a-t-il une relation avec le fait que c'est <1/r> qui intervient, et le changement de variable de Binet u (t) = 1/r (t) en mécanique classique ?

États cohérents

D'une façon plus générale, il se trouve fréquemment que les cas de saturation se retrouvent être des états propres de l'hamiltonien. Il y a énormément de liens entre cette remarque anodine et la théorie plus particulièrement élaborée des états cohérents.

Compléments sur l'Énergie cinétique radiale

ébauche

Ce paragraphe se place dans le cadre des précédentes réflexions, où la non-commutativité joue un rôle essentiel.

L'opérateur impulsion vaut, selon Dirac, $\hat {\vec P} : = {\hbar \over i } \vec \nabla$ .

L'opérateur énergie cinétique s'écrit donc : $\hat E_c = + {1 \over 2m } \hat Pˆ2 = - {\hbarˆ2 \over 2m } \Delta$ .

L'habitude est de séparer l'opérateur P² en deux opérateurs lorsque le champ est central, en faisant intervenir l'opérateur moment cinétique L et l'opérateur impulsion-radiale P_r et il convient d'être particulièrement prudent :

$\vec Pˆ2 = P_rˆ2 + {Lˆ2 \over rˆ2 }$ ,

étant précisé que L. P = 0 et L. r = 0 comme opérateurs.

L'opérateur P²_r agit sur une fonction d'onde découplée S (r) /r. f ( $θ, φ$ ) comme - $\hbarˆ2$ S (r) /r. f ( $θ, φ$ )

Le calcul de l'opérateur dr/dt est donné par le théorème usuel :

$i \hbar dr /dt = rH-Hr = (rP_rˆ2- P_rˆ2 r)/2m$ ;

avec $[r, P_rˆ2] = 2 i \hbar P_r$ , il vient :

dr/dt = P_r/m, somme toute assez facile à retenir mnémotechniquement.

Si la symétrie radiale est respectée, [L², H] = 0 et dans l'état de moment cinétique l, L² = l (l+1) $\hbarˆ2$ , alors :

$E_c \psi = -{\hbarˆ2 \over 2m}Sˆ{''}\cdot {f(\theta, \phi) \over r } + {l(l+1)\hbarˆ2 \over 2mrˆ2 } S(r) \cdot {f(\theta, \phi) \over r }$ .

ceci conduira à une équation radiale assez simple à mémoriser (cf atome d'hydrogène).

Mais il reste à expliquer pourquoi l'ensemble des calculs se combinent autant. Et qui plus est , dans le cas coulombien, expliquer la symétrie SO (4) qui donne le vecteur excentricité. (ébauche)

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