Moment cinétique orbital

Le moment cinétique orbital est un concept de la mécanique quantique. C'est un cas spécifique de moment cinétique quantique.

Introduction

Le moment cinétique orbital est un concept de la mécanique quantique. C'est un cas spécifique de moment cinétique quantique.

Ressemblances avec la mécanique classique

Le moment cinétique orbital correspond à la rotation d'une particule autour d'un noyau, comme la rotation d'un électron autour d'un noyau dans un atome.

On différencie le moment cinétique orbital du moment cinétique intrinsèque, interprétable par la rotation d'une particule élémentaire sur elle-même (on parle de spin de l'électron, par exemple).

Tout moment cinétique est quantifié en mécanique quantique (voir l'article moment cinétique quantique), c'est-à-dire que le moment cinétique ne peut prendre que des valeurs discrètes bien précises. C'est une des propriétés principales de la théorie quantique.

Formules et formalisme quantique

L'opérateur de moment cinétique orbital est noté $\hat L$ et on le définit par la relation suivante (analogue à celle de la mécanique classique) :

$\hat L = \hat R \wedge\hat P$ représentant un produit vectoriel.

$\hat R$ est l'opérateur position et $\hat P$ l'opérateur impulsion, qui a pour composantes cartésiennes en représentation position :

$\hat P_x=-i\hbar\frac {\partial}{\partial x}$
$\hat P_y=-i\hbar\frac {\partial}{\partial y}$
$\hat P_z=-i\hbar\frac {\partial}{\partial z}$

En représentation position, les composantes cartésiennes de l'opérateur $\hat R$ sont simplement :

$\hat R_x = x$
$\hat R_y = y$
$\hat R_z = z$

D'après ces définition, les composantes cartésiennes de l'opérateur de moment cinétique orbital s'écrivent :

$\hat L_x = \hat y \hat p_z - \hat z \hat p_y = -i\hbar(y\frac {\partial}{\partial z}-z\frac {\partial}{\partial y})$
$\hat L_y = \hat z \hat p_x - \hat x \hat p_z= -i\hbar(z\frac {\partial}{\partial x}-x\frac {\partial}{\partial z})$
$\hat L_z = \hat x \hat p_y - \hat y \hat p_x= -i\hbar(x\frac {\partial}{\partial y}-y\frac {\partial}{\partial x})$

On peut alors calculer les commutateurs de $\hat L_x$ , $\hat L_y$ et $\hat L_z$ :

$[\hat L_x, \hat L_y] = i \hbar \hat L_z$
$[\hat L_y, \hat L_z] = i \hbar \hat L_x$
$[\hat L_z, \hat L_x] = i \hbar \hat L_y$

Moment cinétique total

L'opérateur de moment cinétique total noté $\hat J$ est la somme vectorielle de l'opérateur de moment cinétique orbital noté $\hat L$ et de l'opérateur de spin (moment cinétique intrinsèque) noté $\hat S$ .

$\hat J = \hat L + \hat S$

Voir aussi

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