Ensemble complet d'observables qui commutent

En mécanique quantique, un ensemble complet d'observables qui commutent, souvent abrégé ECOC, est un ensemble d'observables qui réunissent les deux conditions suivantes ...

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Mécanique quantique - Physique quantique

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En mécanique quantique, un ensemble complet d'observables qui commutent, souvent abrégé ECOC, est un ensemble d'observables qui réunissent les deux conditions suivantes^[1] :

elles commutent deux à deux ;
il existe une unique base orthonormée de vecteurs propres communs à l'ensemble des observables. C'est en ce sens que la totalité est dit complet.

A titre d'exemple, dans le cas de l'atome d'hydrogène, l'Hamiltonien $\hat{H}$ , le moment angulaire $\hat{\vec{L}}$ et sa projection $\hat{L_z}$ sur un axe arbitraire z forment un ECOC (si on ignore le spin du proton et de l'électron mais aussi le mouvement du centre de masse de l'atome).

Puisque les observables commutent entre elles, elles sont compatibles, c'est-à-dire que la mesure de l'une des observables n'aura aucune influence sur les résultats de mesure d'une autre observable de l'ECOC. On n'a par conséquent pas à préciser l'ordre des mesures des différentes observables de l'ECOC. Comme la totalité d'observable est d'autre part supposé complet, on peut réaliser une mesure complète, c'est-à-dire de la totalité des observables de la totalité, ce qui projettera l'état du dispositif sur un vecteur unique et connu – grâce aux résultats de mesure – de la base. La notion d'ECOC et de mesure complète est par conséquent utile lors de la préparation d'un état quantique bien déterminé.

De plus, les états faisant partie de la base de l'ECOC sont totalement caractérisés par la donnée de leurs valeurs propres $λ 1$ , $λ 2$ , ..., associées à chacuns des observables $O 1$ , $O 2$ , ... de l'ECOC. Pour reprendre l'exemple de l'atome d'hydrogène ci-dessus, les états de la base sont notés par leurs nombres quantiques $|n,l,m\rangle$ , sans que la fonction d'onde ou l'orbitale atomique correspondante n'apparaisse explicitement.

Notes et références

↑ C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions]

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