Propagateur de l'équation de Schrödinger
Le terme propagateur a été introduit en physique par Feynman en 1948 pour sa formulation de la mécanique quantique en intégrales de chemin, une nouvelle approche de la quantification centrée sur le Lagrangien, au contraire de la procédure habituelle...
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Le terme propagateur a été introduit en physique par Feynman en 1948[1] pour sa formulation de la mécanique quantique en intégrales de chemin, une nouvelle approche de la quantification centrée sur le Lagrangien, au contraire de la procédure habituelle de quantification canonique fondée sur le Hamiltonien.
Le propagateur, outil mathématique particulièrement commode, sera rapidement identifié par Dyson comme n'étant rien d'autre qu'une fonction de Green. Cette remarque permettra à Dyson de faire en 1948 le lien manquant entre la formulation abstraite de l'électrodynamique quantique développée par Schwinger, et celle, basée sur des diagrammes, découverte indépendamment par Feynman.
Considérons une particule non relativiste de masse m à une dimension, dont l'opérateur Hamiltonien s'écrit :
En représentation de Schrödinger, cette particule est décrite par le ket qui obéit à l'équation de Schrödinger :
Si on se donne à un instant d'origine t0 fixé une condition d'origine , et en supposant que l'opérateur est indépendant du temps[2], on peut écrire la solution de l'équation de Schrödinger aux instants ultérieurs t > t0 comme :
Projetons cette équation dans la représentation des positions :
et insérons la relation de fermeture dans le terme de droite :
il vient :
Compte-tenu du fait que , l'équation précédente s'écrit sous la forme :
Définition
On définit le propagateur de l'équation de Schrödinger par :
Remarque
Comme ψ (q, t) est une solution de l'équation de Schrödinger, le propagateur est aussi une solution de cette équation :
qui doit qui plus est vérifier la condition initiale :
Les mathématiciens parlent dans ce cas d'une solution élémentaire de l'équation de Schrödinger, les physiciens utilisant plutôt le nom de fonction de Green.
Application au calcul d'une amplitude de transition
L'amplitude de transition pour que la particule passe d'état d'origine | ψ (t1) > à l'instant t1 vers un état t2 > t1 est donné par l'élément de matrice :
On constate par conséquent que la connaissance du propagateur sert à calculer n'importe quelle amplitude de transition quantique, au moins formellement.
On rappelle les relations :
Avec les notations de Dirac, et en utilisant la relation de fermeture sur les impulsions :
la seconde relation s'écrit :
-
Expression du propagateur de la particule libre
Pour une particule libre sur la droite, l'opérateur Hamiltonien est indépendant de la position :
Le propagateur, qu'on note dans ce cas K0, s'écrit alors :
- | p0 > étant par définition un état propre de l'opérateur impulsion , on a :
- < p | p0 > = δ (p − p0) , on obtient pour le propagateur :
- transformée de Fourier, il vient :
qui se réécrit :
L'argument de l'exponentielle peut se réécrire comme suit :
Or le crochet est le début d'un carré parfait :
donc l'argument de l'exponentielle devient :
Le dernier terme étant indépendant de l'impulsion, il sort de l'intégrale et le propagateur s'écrit :
On fait un changement de variable sur les impulsions, les autres paramètres étant fixés :
ce qui donne :
Il subsiste une intégrale Gaussienne qui se calcule précisément :
On en déduit que :
d'où l'expression finale du propagateur libre :
Remarque
Pour une particule libre dans un espace Euclidien à d dimensions, on pourrait démontrer de façon analogue que :
Équation de Chapman-Kolmogorov
La fonction d'onde à un instant t2 > t1 est donnée par l'équation intégrale :
En introduisant dans cette équation la relation entre ψ (q1, t1) et ψ (q0, t0) , on obtient :
qu'on peut écrire :
Mais comme on peut aussi écrire directement que :
On en déduit la formule principale suivante :
Cette relation porte le nom d'équation de Chapman-Kolmogorov dans la théorie des processus stochastiques, dont le mouvement brownien est un cas spécifique.Bibliographie - Richard P. Feynman ; Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics, Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Cet article est reproduit dans : Julian Schwinger (ed) ; Selected Papers on Quantum Electrodynamics, Dover Publications, Inc. (1958) ISBN 0-486-60444-6. Lire aussi la référence suivante.
- Richard P. Feynman and André R. Hibbs, Quantum Physics and Path Integrals, New York : McGraw-Hill, 1965 [ISBN 0-070-20650-3]. La référence historique, rédigée par le Maître et l'un de ses élèves.
- Freeman Dyson ; Georges Green and physics, Physics World (Août 1993), 33-38.
- Voir aussi la bibliographie de l'article : intégrale de chemin.
Référence
- ↑ Richard P. Feynman ; Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics, Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Cet article est reproduit dans : Julian Schwinger (ed) ; Selected Papers on Quantum Electrodynamics, Dover Publications, Inc. (1958) ISBN 0-486-60444-6. Lire aussi la référence suivante.
- ↑ Si l'hamiltonnien est dépendant du temps, une analyse détaillée des notions utilisées sert à définir et d'utiliser l'intégrale de cet opérateur comparé au temps.
- transformée de Fourier, il vient :
- < p | p0 > = δ (p − p0) , on obtient pour le propagateur :
- | p0 > étant par définition un état propre de l'opérateur impulsion , on a :
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