Propagateur de l'équation de Schrödinger

Le terme propagateur a été introduit en physique par Feynman en 1948 pour sa formulation de la mécanique quantique en intégrales de chemin, une nouvelle approche de la quantification centrée sur le Lagrangien, au contraire de la procédure habituelle...



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Physique théorique - Physique quantique

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  • tion d'une version relativiste de l'équation de Schrodinger, soit l'éon de Dirac. Cependant, dans ... propagateur · Creation de particules par une source.... (source : feynman.phy.ulaval)

Le terme propagateur a été introduit en physique par Feynman en 1948[1] pour sa formulation de la mécanique quantique en intégrales de chemin, une nouvelle approche de la quantification centrée sur le Lagrangien, au contraire de la procédure habituelle de quantification canonique fondée sur le Hamiltonien.

Le propagateur, outil mathématique particulièrement commode, sera rapidement identifié par Dyson comme n'étant rien d'autre qu'une fonction de Green. Cette remarque permettra à Dyson de faire en 1948 le lien manquant entre la formulation abstraite de l'électrodynamique quantique développée par Schwinger, et celle, basée sur des diagrammes, découverte indépendamment par Feynman.

Introduction

Considérons une particule non relativiste de masse m à une dimension, dont l'opérateur Hamiltonien s'écrit :

\hat{H} \ = \ \frac{\hat{p}ˆ2}{2m} \ + \ V(\hat{q})

En représentation de Schrödinger, cette particule est décrite par le ket | \psi(t) \rangle qui obéit à l'équation de Schrödinger :

i \hbar \ \frac{d | \psi(t) \rangle}{dt}  \ = \ \hat{H} \ | \psi(t) \rangle

Si on se donne à un instant d'origine t0 fixé une condition d'origine | \psi(t_0) \rangle , et en supposant que l'opérateur \ \hat{H} est indépendant du temps[2], on peut écrire la solution de l'équation de Schrödinger aux instants ultérieurs t > t0 comme :

| \psi(t) \rangle \ = \ eˆ{-i\hat{H} (t-t_0) /\hbar} \ | \psi(t_0) \rangle

Projetons cette équation dans la représentation des positions :

 \langle q | \psi(t) \rangle \ = \ \langle q |eˆ{-i\hat{H} (t-t_0) /\hbar} \ | \psi(t_0) \rangle

et insérons la relation de fermeture dans le terme de droite :

1 \ = \ \int dq_0 \ | q_0 \rangle \ \langle q_0 |

il vient :

 \langle q | \psi(t) \rangle \ = \ \int dq_0 \ \langle q |eˆ{-i\hat{H} (t-t_0) /\hbar} \  | q_0 \rangle \ \langle q_0 | \psi(t_0) \rangle

Compte-tenu du fait que \langle q | \psi(t) \rangle =  \psi(q,t), l'équation précédente s'écrit sous la forme :

 \psi(q,t) \ = \ \int dq_0 \ \langle q |eˆ{-i\hat{H} (t-t_0) /\hbar} |q_0 \rangle \  \psi(q_0,t_0)

Définition

On définit le propagateur de l'équation de Schrödinger par :


<img class=
 \psi(q,t) \ = \ \int dq_0 \ K(q,t|q_0,t_0) \  \psi(q_0,t_0)

Remarque

Comme ψ (q, t) est une solution de l'équation de Schrödinger, le propagateur est aussi une solution de cette équation :

i \hbar \ \frac{\partial K(q,t|q_0,t_0) }{\partial t}  \ = \ - \ \frac{\hbarˆ2}{2m} \ \Delta_q \ K(q,t|q_0,t_0) \ + \ V(q) \ K(q,t|q_0,t_0)

qui doit qui plus est vérifier la condition initiale :

\lim_{t \to t_0} K(q,t|q_0,t_0) \ = \ \delta(q-q_0)

Les mathématiciens parlent dans ce cas d'une solution élémentaire de l'équation de Schrödinger, les physiciens utilisant plutôt le nom de fonction de Green.

Application au calcul d'une amplitude de transition

L'amplitude de transition pour que la particule passe d'état d'origine | ψ (t1) > à l'instant t1 vers un état <img class=t2 > t1 est donné par l'élément de matrice :

<img class=
<img class=
 S_{1 \to 2}  \ = \ \int \int dq_1 dq_2 \  \varphiˆ*(q_2,t_2) \ K(q_2,t_2|q_1,t_1) \ \psi(q_1,t_1)


On constate par conséquent que la connaissance du propagateur sert à calculer n'importe quelle amplitude de transition quantique, au moins formellement.

Rappels sur la transformation de Fourier

On rappelle les relations :

 \hat{\psi}(p)  \ = \ \int \frac{dq}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \ eˆ{\, - \, i p q/\hbar} \ \psi(q)
 \psi(q) \ = \ \int \frac{dp}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \ eˆ{\, + \, i p q/\hbar} \ \hat{\psi}(p)

Avec les notations de Dirac, et en utilisant la relation de fermeture sur les impulsions :

<img class=

la seconde relation s'écrit :

<img class=

Expression du propagateur de la particule libre

Pour une particule libre sur la droite, l'opérateur Hamiltonien est indépendant de la position :

\hat{H} \ = \ \frac{\hat{p}ˆ2}{2m}

Le propagateur, qu'on note dans ce cas K0, s'écrit alors :

<img class=| p0 > étant par définition un état propre de l'opérateur impulsion \hat{p}, on a :

<img class=< p | p0 > = δ (pp0) , on obtient pour le propagateur :

<img class=transformée de Fourier, il vient :

K_0(q,t|q_0,t_0) \ = \ \int dp \ \frac{eˆ{\, + \, i p q/\hbar}}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \ \times \ eˆ{-ipˆ2(t-t_0)/ (2m\hbar)}  \ \times \ \frac{eˆ{\, - \, i p q_0/\hbar}}{\sqrt{2 \pi \hbar}}

qui se réécrit :

K_0(q,t|q_0,t_0) \ = \ \int \frac{dp}{2 \pi \hbar} \ \exp \left[ \,  \frac{i p (q-q_0)}{\hbar} \ - \ \frac{ipˆ2(t-t_0)}{2m\hbar}  \, \right]

L'argument de l'exponentielle peut se réécrire comme suit :

\frac{i p (q-q_0)}{\hbar} \ - \ \frac{ipˆ2(t-t_0)}{2m\hbar} \ = \  
- \ \frac{i (t-t_0)}{2m\hbar}  \ \times \ \left[ \ pˆ2 \ - \ \frac{2mp(q-q_0)}{(t-t_0)} \ \right]

Or le crochet est le début d'un carré parfait :

pˆ2 \ - \ \frac{2mp(q-q_0)}{(t-t_0)}  \ = \ 
\left[ \ p \ - \ \frac{m(q-q_0)}{(t-t_0)} \ \right]ˆ2 \ - \ \frac{mˆ2(q-q_0)ˆ2}{(t-t_0)ˆ2}

donc l'argument de l'exponentielle devient :

- \ \frac{i (t-t_0)}{2m\hbar}  \ \times \ \left[ \ \left( \ p \ - \ \frac{m(q-q_0)}{(t-t_0)} \ \right)ˆ2 \ - \ \frac{mˆ2(q-q_0)ˆ2}{(t-t_0)ˆ2} \right]
= \ - \ \frac{i (t-t_0)}{2m\hbar} \ \left( \ p \ - \ \frac{m(q-q_0)}{(t-t_0)} \ \right)ˆ2 \ + \ \frac{i m(q-q_0)ˆ2}{2 \hbar (t-t_0)}

Le dernier terme étant indépendant de l'impulsion, il sort de l'intégrale et le propagateur s'écrit :

K_0(q,t|q_0,t_0) \ = \ \exp \left( \frac{i m(q-q_0)ˆ2}{2 \hbar (t-t_0)}  \right) \ \times \ \int \frac{dp}{2 \pi \hbar} \ \exp \left[ \, - \ \frac{i (t-t_0)}{2m\hbar} \ \left( \ p \ - \ \frac{m(q-q_0)}{(t-t_0)} \ \right)ˆ2  \, \right]

On fait un changement de variable sur les impulsions, les autres paramètres étant fixés :

p \ \longrightarrow  \ k \ = \ p \ - \ \frac{m(q-q_0)}{(t-t_0)} \ \Longrightarrow \ dp \ \longrightarrow  \ dk \ = \ dp

ce qui donne :

K_0(q,t|q_0,t_0) \ = \ \frac{1}{2 \pi \hbar} \ \exp \left( \frac{i m(q-q_0)ˆ2}{2 \hbar (t-t_0)}  \right) \ \times \ \int dk \ \exp \left[ \, - \ \frac{i (t-t_0) kˆ2}{2m\hbar} \, \right]

Il subsiste une intégrale Gaussienne qui se calcule précisément :

\int dk \ eˆ{- \alpha kˆ2} \ = \ \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}

On en déduit que :

K_0(q,t|q_0,t_0) \ = \ \frac{1}{2 \pi \hbar} \ \sqrt{\frac{2\pi m \hbar}{i(t-t_0)}} \ \exp \left( \frac{ + i m(q-q_0)ˆ2}{2 \hbar (t-t_0)}  \right)

d'où l'expression finale du propagateur libre :


K_0(q,t|q_0,t_0) \ = \ \sqrt{\frac{m}{2 \pi i  \hbar (t-t_0)}} \ \exp \left( \frac{ + i m(q-q_0)ˆ2}{2 \hbar (t-t_0)}  \right)

Remarque

Pour une particule libre dans un espace Euclidien à d dimensions, on pourrait démontrer de façon analogue que :


K_0(\vec{q},t|\vec{q}_0,t_0) \ = \ \left( \, \frac{m}{2 i \pi \hbar (t-t_0)} \, \right)ˆ{d/2} \ \exp \left( \frac{ + i m(\vec{q}-\vec{q}_0)ˆ2}{2 \hbar (t-t_0)}  \right)

Équation de Chapman-Kolmogorov

La fonction d'onde à un instant t2 > t1 est donnée par l'équation intégrale :

 \psi(q_2,t_2) \ = \ \int dq_1 \ K(q_2,t_2|q_1,t_1) \  \psi(q_1,t_1)

En introduisant dans cette équation la relation entre ψ (q1, t1) et ψ (q0, t0) , on obtient :

 \psi(q_2,t_2) \ = \ \int dq_1 \ K(q_2,t_2|q_1,t_1) \ \int dq_0 K(q_1,t_1|q_0,t_0) \  \psi(q_0,t_0)

qu'on peut écrire :

 \psi(q_2,t_2) \ = \ \int dq_0  \ \left[ \ \int dq_1 \ K(q_2,t_2|q_1,t_1) \ K(q_1,t_1|q_0,t_0) \ \right] \ \psi(q_0,t_0)

Mais comme on peut aussi écrire directement que :

 \psi(q_2,t_2) \ = \ \int dq_0 \ K(q_2,t_2|q_0,t_0) \  \psi(q_0,t_0)

On en déduit la formule principale suivante :


 K(q_2,t_2|q_0,t_0)  \ = \ \int dq_1 \ K(q_2,t_2|q_1,t_1) \ K(q_1,t_1|q_0,t_0)


Cette relation porte le nom d'équation de Chapman-Kolmogorov dans la théorie des processus stochastiques, dont le mouvement brownien est un cas spécifique.

Bibliographie
  • Richard P. Feynman ; Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics, Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Cet article est reproduit dans : Julian Schwinger (ed)  ; Selected Papers on Quantum Electrodynamics, Dover Publications, Inc. (1958) ISBN 0-486-60444-6. Lire aussi la référence suivante.
  • Richard P. Feynman and André R. Hibbs, Quantum Physics and Path Integrals, New York : McGraw-Hill, 1965 [ISBN 0-070-20650-3]. La référence historique, rédigée par le Maître et l'un de ses élèves.
  • Freeman Dyson ; Georges Green and physics, Physics World (Août 1993), 33-38.
  • Voir aussi la bibliographie de l'article : intégrale de chemin.

Référence

  1. Richard P. Feynman ; Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics, Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Cet article est reproduit dans : Julian Schwinger (ed)  ; Selected Papers on Quantum Electrodynamics, Dover Publications, Inc. (1958) ISBN 0-486-60444-6. Lire aussi la référence suivante.
  2. Si l'hamiltonnien est dépendant du temps, une analyse détaillée des notions utilisées sert à définir et d'utiliser l'intégrale de cet opérateur comparé au temps.

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