Postulats de la mécanique quantique

Cet article traite des postulats de la mécanique quantique. La description du monde microscopique que apporte la mécanique quantique s'appuie sur une vision radicalement nouvelle, et s'oppose en cela à la mécanique classique.

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Principe physique - Mécanique quantique - Physique quantique

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Cet article traite des postulats de la mécanique quantique. La description du monde microscopique que apporte la mécanique quantique s'appuie sur une vision radicalement nouvelle, et s'oppose en cela à la mécanique classique. Elle repose sur des postulats.

Introduction

Les implications de cette nouvelle vision sont si complexes, si profondes et si inhabituelles (comparé à notre propre expérience) qu'une grande partie de la communauté scientifique a décidé de les éluder, et se contente d'utiliser la théorie, qui a apporté les prévisions les plus précises à ce jour.

Les tenants de cette approche, dite de l'École de Copenhague, tiennent environ ce discours :

Il importe de remarquer dès à présent que ces postulats n'ont aucun sens (méta-) physique : ils ne décrivent pas l'univers. Ils sont purement formels, opératoires, en ce qu'ils décrivent les opérations correctes, mais sans permettre de les interpréter, ni a fortiori d'expliquer pourquoi elles permettent de décrire les phénomènes et même de les prédire. C'est pourquoi on a pu dire :

«Si quelqu'un vous dit qu'il a compris la mécanique quantique, c'est un menteur»

Il s'agit d'une impossibilité radicale, liée à l'absence de lien physique entre les postulats et la réalité, et non d'une «simple» ignorance qui pourrait être comblée à l'intérieur du cadre de la mécanique quantique actuelle.

Bref, la mécanique quantique est idéalement valide dès désormais (en attendant une surprise toujours envisageable…), mais incompréhensible sans complément toujours à faire.

Parallèlement, une partie de la communauté scientifique ne pouvant accepter l'approche de l'École de Copenhague a tenté de créer une «autre» mécanique quantique qui serait en accord avec les principes «naturels» sur lesquels toute science expérimentale devrait s'appuyer : la reproductibilité d'une expérience et le principe de déterminisme.

Dans ce but, de nombreuses théories aussi sérieuses que farfelues ont vu le jour. La première solution proposée fut celle des variables cachées (théorie qui suppose que l'information «manquante» pour que le dispositif se comporte d'une manière déterministe absolue est portée par des variables dont nous n'avons pas la connaissance). À l'heure actuelle, il est impossible de résoudre l'ensemble des systématiques avec une théorie de cette forme.

Une autre solution à cette problématique est le fait d'accepter la mécanique quantique et ces «problème de déterminisme», mais, en opposition à l'École de Copenhague, de ne pas accepter le caractère essentiel des postulats de la mécanique quantique. Pour ce faire, les membres de cette école ont porté leur analyse sur les «axiomes» fondamentaux qui soutiennent les sciences expérimentales. Cette analyse a porté ces fruits, et cette école reformule ces axiomes de manière qu'une science ou mécanique fondée sur cette «logique axiomatique» soit en accord avec la mécanique quantique (voir Les trois axiomes de la mécanique quantique). Cette solution est particulièrement peu connue dans le monde non scientifique et possède toujours la plupart de détracteurs. Les discours des détracteurs et les réponses des protagonistes de cette solution peuvent se résumer ainsi :

Les détracteurs: Cette solution ne fait que déplacer le problème, car au lieu d'avoir une mécanique quantique fondée sur cinq postulats «sortis de nulle part», vous avez trouvé une solution pour qu'elle soit fondée sur trois axiomes «sortis de nulle part».

Les protagonistes: Premièrement il est indispensable de comprendre à quel point toute science est fondée sur une axiomatique principale qui régit l'acquisition de données expérimentales et le traitement de ces données. En effet, l'idée de causalité, de déterminisme, de reproductivité d'une expérience sont des concepts fondamentaux sans lesquels il serait impossible à l'esprit humain de créer une science. Et ces concepts sont des axiomes ! Ces axiomes ont été formulés durant l'Antiquité et nous les avons acceptés jusqu'désormais sans aucun doute. Or, avec l'arrivée de la physique moderne et l'étude des particules élémentaires, ces axiomes génèrent des paradoxes, il est par conséquent clair que nous ne pouvons par conséquent plus les accepter tels quels, il devient par conséquent indispensable de les reformuler. Nous n'avons pas déplacé le problème, car nous avons réduit six postulats et un axiome en trois axiomes. Enfin, ces trois nouveaux axiomes sont énormément plus «naturels» que les six postulats de la mécanique quantique.

Formulation mathématique

La formulation mathématique de la mécanique quantique, dans son usage général, fait beaucoup appel à la notation bra-ket de Dirac, qui sert à représenter de façon concise les opérations sur les espaces de Hilbert utilisés en analyse fonctionnelle. Cette formulation est fréquemment attribuée à John von Neumann.

Soit un espace séparable $\mathcal{H}$ de Hilbert. Les états sont les rayons projectifs de $\mathcal{H}$ . Un opérateur est une transformation linéaire d'un sous-espace dense de $\mathcal{H}$ vers $\mathcal{H}$ . Si cet opérateur est continu, alors cette transformation peut être prolongée de façon unique à une transformation linéaire bornée de $\mathcal{H}$ vers $\mathcal{H}$ . Par tradition, les choses observables sont identifiées avec des opérateurs, quoique ce soit discutable, en particulier en présence des symétries. C'est pourquoi certains préfèrent la formulation d'état de densité.

Dans ce cadre, le principe d'incertitude d'Heisenberg devient un théorème au sujet des opérateurs non-commutatifs. En outre, on peut traiter des observables continues et discrètes ; dans le premier cas, l'espace de Hilbert est un espace de fonctions d'onde de carré intégrables.

Postulat I

Définition de l'état quantique

Article détaillé : état quantique.

La connaissance de l'état d'un dispositif quantique est totalement contenue, à l'instant t, dans un vecteur normalisable de l'espace des états $\mathcal{H}$ . Il est généralement noté sous la forme d'un ket $| \psi (t) \rangle$ .

Postulat II

Principe de correspondance

Articles détaillés : principe de correspondance et observable.

À toute propriété observable, par exemple la position, l'énergie ou le spin, correspond un opérateur hermitien linéaire agissant sur les vecteurs d'un espace de Hilbert $\mathcal{H}$ . Cet opérateur est appelé observable.

Les opérateurs associés aux propriétés observables sont définis par des règles de construction qui reposent sur un principe de correspondance^[1] :

L'opérateur de position: $\hat{\mathbf{Q}} = \mathbf{r}$

L'opérateur d'énergie potentielle classique ou électromagnétique: $\hat{V}(\mathbf{r}) = V_{cl} (\mathbf{r})$

L'opérateur de quantité de mouvement: $\hat{\mathbf{P}}(\mathbf{r}) = -i\hbar \nabla$ , où $\nabla$ sert à désigner le gradient des coordonnées $\mathbf{r}$

L'opérateur de moment angulaire: $\hat{\mathbf{L}}(\mathbf{r}) = \hat{\mathbf{Q}} \times \hat{\mathbf{P}} = -i\hbar\mathbf{r} \times \nabla$

L'opérateur d'énergie cinétique: $\hat{K}(\mathbf{r}) = \frac{\hat{\mathbf{P}} \cdot \hat{\mathbf{P}}}{2m} = -\frac{\hbarˆ2}{2m} \nablaˆ2$

L'opérateur d'énergie totale, nommé hamiltonien: $\hat{H} = \hat{K} + \hat{V} = \hat{K}(\mathbf{r}) + V_{cl} (\mathbf{r})$

L'opérateur action du dispositif, nommé lagrangien: $\hat{L} = \hat{K} - \hat{V}$

Postulat III

Mesure : valeurs envisageables d'une observable

La mesure d'une grandeur physique représentée par l'observable A ne peut apporter que l'une des valeurs propres de A.

Les vecteurs propres et les valeurs propres de cet opérateur ont une signification spéciale : les valeurs propres sont les valeurs pouvant résulter d'une mesure parfaite de cette propriété, les vecteurs propres étant l'état quantique du dispositif immédiatement après la mesure et résultant de cette mesure (voir postulat V : réduction du paquet d'onde). En utilisant la notation bra-ket, ce postulat peut s'écrire ainsi :

$\hat{A} | \alpha_n \rangle = a_n | \alpha_n \rangle$

où $\hat{A}$ , $| \alpha_n \rangle$ et $a n$ désignent, respectivement, l'observable, le vecteur propre et la valeur propre correspondante.

Les états propres de tout observable $\hat{A}$ sont complets et forment une base orthonormée dans l'espace de Hilbert.

Cela veut dire que tout vecteur $| \psi (t) \rangle$ peut se décomposer de manière unique sur la base de ces vecteurs propres ( $| \phi_i \rangle$ ) :

$| \psi \rangle = c_1 | \phi_1 \rangle + c_2 | \phi_2 \rangle + ... + c_n | \phi_n \rangle$

Postulat IV

Postulat de Born : interprétation probabiliste de la fonction d'onde

La mesure d'une grandeur physique représentée par l'observable A, effectuée sur l'état quantique (normalisé) $| \psi (t) \rangle$ , donne le résultat a_n, avec la probabilité P_n identique à |c_n|².

Le produit scalaire d'un état et d'un autre vecteur (qu'il appartienne ou non à $\mathcal{H}$ ) apporte une amplitude de probabilité, dont le carré correspond à une probabilité ou une densité de probabilité de la façon suivante :

Pour un dispositif constitué d'une seule particule dans un état $|\alpha\rangle$ normé, la fonction d'onde $\Psi_\alpha(\mathbf{r}) = \langle \mathbf{r} | \alpha \rangle$ est l'amplitude de probabilité que la particule soit à la position $\mathbf{r}$ . La probabilité $P_\alpha(\mathbf{r})$ de trouver la particule entre $\mathbf{r}$ et $\mathbf{r} + d\mathbf{r}$ est :

$P_\alpha(\mathbf{r}) = {|\langle\mathbf{r}|\alpha\rangle|}ˆ2 dˆ3\mathbf{r} \equiv {|\Psi_\alpha(\mathbf{r})|}ˆ2 dˆ3\mathbf{r}$

Donc $\rho_\alpha(\mathbf{r})={|\langle\mathbf{r}|\alpha\rangle|}ˆ2$ est une densité de probabilité.
Si le dispositif est dans un état $|\alpha\rangle$ normé, alors l'amplitude de probabilité $C_{\beta\alpha}\,$ et la probabilité $P_{\beta\alpha}\,$ de le retrouver dans tout autre état $|\beta\rangle$ sont :

$C_{\beta\alpha} = \langle\beta|\alpha\rangle$ .

$P_{\beta\alpha} = {|\langle\beta|\alpha\rangle|}ˆ2$ .

Ni $|\alpha\rangle$ , ni $|\beta\rangle$ ne doivent être obligatoirement un état propre d'un opérateur quantique.
Dans l'éventualité où un dispositif peut évoluer vers un état $|\alpha, t\rangle$ au temps $t$ par plusieurs trajets différents, alors, pour tout autant qu'on n'effectue pas de mesure pour déterminer quel trajet a été effectivement suivi, $|\alpha, t\rangle$ est une combinaison linéaire des états $|\alpha_j, t\rangle$ où $j$ spécifie le trajet :

$|\alpha, t\rangle = \sum{w_j |\alpha_j, t\rangle}$

où $w_j\,$ sont les cœfficient de la combinaison linéaire.

L'amplitude $C_{\beta\alpha}(t) = {|\langle\beta|\alpha, t\rangle|}$ devient alors la somme des amplitudes $C_{\beta\alpha_j}(t)$ et la probabilité $P_{\beta\alpha}(t)\,$ contient des termes d'interférence :

$P_{\beta\alpha}(t) = {|\langle\beta|\alpha, t\rangle|}ˆ2 = {\left|\sum{w_j\langle\beta |\alpha_j, t\rangle}\right|}ˆ2 = {\left|\sum{w_j C_{\beta\alpha_j}(t)}\right|}ˆ2$

Mais si une mesure a déterminé que le trajet $k$ a été suivi, alors les cœfficients deviennent $w_j \rightarrow \delta_{jk}$ et les sommes précédentes se diminuent à un seul terme.
En supposant que le dispositif se trouve dans un état $|\alpha\rangle$ , alors la prédiction théorique de la valeur moyenne de la mesure de l'observable $\hat{A}$ est donnée par :

${\langle\hat{A}\rangle}_\alpha = \langle\alpha|\hat{A}|\alpha\rangle$

Postulat V

Mesure : réduction du paquet d'onde; obtention d'une valeur unique; projection de l'état quantique

Article détaillé : Réduction du paquet d'onde.

Si la mesure de la grandeur physique A, à l'instant t, sur un dispositif représenté par le vecteur $| \psi \rangle$ donne comme résultat la valeur propre $a_n\,$ , alors l'état du dispositif immédiatement après la mesure est projeté sur le sous-espace propre associé à $a_n\,$ :

$|\psi '\rangle=\frac{\hat{P}_n|\psi\rangle}{\sqrt{P(a_n)}}$

Où $P(a_n)\,$ est la probabilité de trouver comme résultat la valeur propre $a_n\,$ et $\hat{P}_n$ est l'opérateur projecteur défini par

$\hat{P}_n=\sumˆ{g_n}_{k=1}|u_{n,k}\rangle \langle u_{n,k}|$

Avec $g_n\,$ le degré de dégénérescence de la valeur propre $a n$ et les $|u_{n,k}\rangle$ les vecteurs de son sous-espace propre.

Ce postulat est aussi nommé "postulat de réduction du paquet d'onde".

Postulat VI

Évolution temporelle de l'état quantique

Article détaillé : Équation de Schrödinger.

L'état $\left|\Phi, t\right\rangle$ de tout dispositif quantique non-relativiste est une solution de l'équation de Schrödinger dépendante du temps :

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\Phi, t\right\rangle = \hat{H}\left|\Phi, t\right\rangle$

Le sixième postulat est l'équation de Schrödinger. Cette équation est l'équation dynamique de la mécanique quantique. Elle veut dire simplement que c'est l'opérateur «énergie totale» du dispositif ou hamiltonien, qui est responsable de l'évolution du dispositif dans le temps. En effet, la forme de l'équation montre qu'en appliquant l'hamiltonien à la fonction d'onde du dispositif, on obtient sa dérivée comparé au temps c'est-à-dire comment elle fluctue dans le temps.

Cette équation n'est valable que dans le cadre non relativiste.

Voir aussi

Les trois axiomes de la mécanique quantique

Notes et références

↑ Dans les définitions données ci-dessus, les opérateurs sont représentés suivant les coordonnées. Une autre représentation, équivalente, mais basée sur les quantités de mouvement existe aussi.

Bibliographie

Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu & Franck Laloë, Mécanique quantique, tome 1, Hermann, 1973 (ISBN 2705660747)

L'introduction de choix pour la mécanique quantique dans le monde francophone. Le chapitre 3 présente les postulats de cette mécanique. La compréhension de cet ouvrage exige un bon niveau de mathématiques. Un désavantage : à l'instar de cet article, il emploie la notation de Dirac qui est née tandis que les mathématiques utiles à la mécanique quantique étaient peu développées. À l'heure actuelle, de nombreux théoriciens ont abandonné cette notation en faveur d'un formalisme, peut-être moins adapté à la mécanique quantique, mais plus rigoureux mathématiquement. Voir, par exemple, les articles analyse fonctionnelle (mathématiques) , théorie des opérateurs (mathématique) et théorie des groupes.

Richard Feynman, Mécanique quantique, tome 3 du Cours de physique de Feynman, Dunod (ISBN 2100049348)

Bonne traduction d'un ouvrage rédigé en anglais. Bien adapté à un profane possédant un niveau bac scientifique en mathématique et désirant avoir une introduction rigoureuse à la mécanique quantique.

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