Principe de correspondance

En physique, le principe de correspondance, proposé pour la première fois par Niels Bohr en 1923, est un principe établissant que le comportement quantique d'un dispositif peut se diminuer à un comportement de physique classique, lorsque les...

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En physique, le principe de correspondance, proposé pour la première fois par Niels Bohr en 1923, est un principe établissant que le comportement quantique d'un dispositif peut se diminuer à un comportement de physique classique, lorsque les nombres quantiques mis en jeu dans le dispositif sont particulièrement grands, ou lorsque la quantité d'action représentée par la constante de Planck peut être négligée devant l'action mise en œuvre dans le dispositif.

Origine et obligation

Les lois de la mécanique quantique sont extrêmement efficaces dans la description des objets microscopiques, comme les atomes ou les particules. D'un autre côté, l'expérience révèle que de nombreux dispositifs macroscopiques - par exemple les ressorts ou les condensateurs - peuvent être particulièrement décrits par des théories classiques, ne faisant intervenir que la mécanique newtonienne et l'électromagnétisme non relativiste. Ainsi, dans la mesure où il n'y a pas de raison spécifique pour que les lois de la physique, supposées universelles, dépendent de la taille d'un dispositif, Bohr proposa ce principe, selon lequel : «La mécanique classique doit se retrouver, comme approximation de la mécanique quantique pour des objets plus gros».

Cette formule est cependant ambiguë : lorsque doit-on considérer qu'un dispositif n'est plus soumis aux lois classiques ? La physique quantique pose une limite de correspondance, ou limite classique. Bohr a apporté une mesure grossière de cette limite : «lorsque les nombres quantiques décrivant le dispositif sont grands», ce qui veut dire soit que le dispositif est particulièrement énergétique, soit qu'il est constitué largement de nombres quantiques, soit les deux.

Le principe de correspondance fait partie des outils fondamentaux qui permettent de vérifier les théories quantiques qui ont une réalité. En effet, la formulation - particulièrement mathématique - de la physique quantique est particulièrement ouverte : on sait par exemple que les états d'un dispositif physique occupent un espace de Hilbert, mais on ne sait rien de cet espace. Le principe de correspondance limite ainsi les choix, lorsqu'il s se présentent, à des solutions qui ne contredisent pas la mécanique classique à grande échelle.

Expression mathématique du principe de correspondance

On peut passer de lois en physique classique aux lois traitant du même sujet en physique quantique en :

Remplaçant les variables dynamiques V du dispositif par des observables A agissant sur la fonction d'état du dispositif.
Remplaçant $\frac{d {V(t)}}{dt}$ par le commutateur des opérateurs associés $\frac{1}{i\hbar} [H;A(t)]$ A (t) étant l'observable et H l'hamiltonien.

On peut démontrer que $\frac{1}{i\hbar} [H;A(t)] = \left\{ H,A \right\} + O(\hbarˆ2)$ , $\left\{ H,A \right\}$ étant le Crochet de Poisson de l'Hamiltonien et de la variable dynamique.

Or, $\frac{d {V(t)}}{dt} = \left\{ H,V \right\}$ en mécanique classique. On retrouve bien l'expression classique si $O(\hbarˆ2)$ est négligeable, ce qui est le cas dans le domaine d'application du principe de correspondance.

Ce qui aboutit au théorème d'Ehrenfest : les mesures faites en physique classique sont identiques aux moyennes des observables associés aux variables utilisées.

(Cependant il faut remarquer, qu'en mécanique quantique il y a des propriétés sans correspondance classique, p. ex. spin. )

Oscillateur harmonique quantique

Il est montré ici en quoi, dans cet exemple, des nombres quantiques importants permettent de retrouver la mécanique classique.

On considère un oscillateur harmonique quantique à 1 dimension. Selon la mécanique quantique, son énergie totale (cinétique et potentielle), notée E, est l'une des valeurs discrètes :

$E=(n+1/2)\hbar \omega, \ n=0, 1, 2, 3, \dots$

où $\omega\,$ est la fréquence angulaire de l'oscillateur. Cependant, dans un oscillateur harmonique classique - par exemple une bille de plomb attachée à un ressort - il y a un mouvement continu. D'ailleurs, l'énergie d'un tel dispositif semble continue.

C'est ici qu'intervient le principe de correspondance, qui sert à passer à un cas «macroscopique». En notant $A\,$ l'amplitude de l'oscillateur classique :

$E = \frac{m \omega ˆ2 Aˆ2}{2}$

À la limite de correspondance, les deux approches sont équivalentes : la mécanique quantique donne :

$n = \frac{E}{\hbar \cdot \omega} - \frac{1}{2} = \frac{m \omega Aˆ2}{2\hbar} -\frac{1}{2}$

Prenons des valeurs à notre échelle : m = 1 kg, $\omega\,$ = 1 rad/s et A = 1 m. On trouve n ≈ 4.74×10³³. C'est un dispositif effectivement particulièrement large, le dispositif est bien dans la limite de correspondance.

On comprend alors pourquoi on a l'impression d'un mouvement continu : avec $\omega\,$ = 1 rad/s, la différence entre deux niveaux d'énergie successifs est $\hbar \omega\approx 1\times 10ˆ{-34}$ J, bien en deçà de ce qu'il est envisageable d'aisément détecter.

Équation de Schrödinger

L'équation de l'énergie d'un corps en physique classique est : $\ E = \frac{1}{2m}.(\vec p∼)ˆ2 + V(\vec{r} ,t)$

La correspondance entre les valeurs classiques et les opérateurs est : $E \longleftrightarrow i\hbar \frac{\part}{\part t}$ et $\vec p \longleftrightarrow -i\hbar \frac{\part}{\part \vec x } = -i\hbar \vec \nabla$

En remplaçant dans l'énergie classique, on obtient : $\ i \, \hbar \ \frac{\partial }{\partial t}\ = -\frac{\hbarˆ2}{2m} \, \nabla ˆ2 \ + \ V(\vec{r},t) \, \$

Cette identiqueité est une identiqueité d'opérateurs agissants sur la totalité des fonctions. En l'appliquant à une fonction $\psi(\vec{r},t)$ , on obtient : $\ i \, \hbar \ \frac{\partial \psi(\vec{r},t) }{\partial t}\ = -\frac{\hbarˆ2}{2m} \, \nabla ˆ2 \psi(\vec{r},t) \ + \ V(\vec{r},t) \psi(\vec{r},t)\, \$

Ce qui n'est rien d'autre que l'équation de Schrödinger.

Cette manière de l'obtenir n'a qu'une vertu d'illustration de l'utilisation du principe et n'est nullement une démonstration de l'équation.
Il est à remarquer que cette technique appliquée à l'équation de l'énergie en relativité restreinte sert à retrouver l'équation de Klein-Gordon.

Autres acceptions

Dès 1915, Einstein utilisait un principe de substitution pour passer des équations de la relativité restreinte à celle de la relativité générale, et pour s'aider à déterminer les équations du champ de gravitation.

D'autre part, le terme de «principe de correspondance» est aussi repris dans un sens plus philosophique, selon lequel une nouvelle théorie scientifique englobant une théorie précédente doit pouvoir expliquer tout ce que cette dernière expliquait.

A titre d'exemple, la théorie de la relativité restreinte satisfait ce principe : à des vitesses plus faibles devant celle de la lumière, on retrouve la mécanique classique. De même, la relativité générale donne la mécanique classique pour des champs gravitationnels faibles.

En relativité générale

Einstein comprit qu'en relativité restreinte la dérivation suivant un axe de coordonnée est remplacée, en relativité générale, par la dérivation covariante qui consiste à dériver suivant le substitut à la notion de droite dans un espace courbe : le chemin suivi par le mouvement inertiel, ce qu'on nomme une géodésique.
C'est une application du principe d'équivalence et du principe de relativité : les équations de la relativité restreinte sont vues comme des équations de tenseurs dans un référentiel inertiel (en mouvement suivant une géodésique, ou encore en chute libre dans le champ de gravitation), et pour retrouver les équations dans les autres référentiels, il suffit de remplacer chaque tenseur utilisé par son expression générale en relativité générale, et chaque dérivée suivant une droite du référentiel d'inertie, par conséquent cette droite est une géodésique, par l'expression de la dérivation suivant cette géodésique.

Pour retrouver formellement les équations de la relativité générale à partir des équations de la relativité restreinte, il faut :

S'assurer que l'équation de la relativité restreinte est bien une identiqueité de tenseurs. Par exemple la quadri-vitesse est un tenseur, mais les quadri-coordonnées n'en forment pas un.

Y remplacer la métrique $η i j$ par la métrique $\ gˆ{ij}$ .

Y remplacer les différentielles $\part_i$ par les différentielles covariantes $\ D_i$ ou $\nabla _i$ , suivant la notation choisie.

Y remplacer, dans les intégrales, le volume élémentaire $\ dˆ4x$ par $\sqrt{|g|}Ð4x$ .

On obtient alors l'équation de la relativité générale qui concerne le même sujet que celui traité en relativité restreinte.

Bien sûr, on ne peut obtenir ainsi les équations du champ de gravitation qui ne peuvent être traitées en relativité restreinte. Cependant, ce fut un guide précieux :

En relativité restreinte, le tenseur d'énergie $\ Tˆ{ij}$ vérifie $\part_i Tˆ{ij} = 0$ , ce qui donne, en relativité générale, $\nabla_i Tˆ{ij} = 0$ . Fort de l'idée que la gravitation est une déformation de la géométrie de l'espace due à l'énergie du corps présent, Einstein chercha par conséquent un tenseur géométrique $\ Gˆ{ij}$ vérifiant la même identiqueité, pour pouvoir écrire $\ \chi. Tˆ{ij} = Gˆ{ij}$ , où

χ

est une constante homogénéisant les dimensions. Son ami Marcel Grossmann lui indiqua, vers 1912, qu'on pouvait prendre $\ Gˆ{ij} = Rˆ{ij} - \frac{1}{2}gˆ{ij}R$ , ce qui laissa Einstein incrédule^[1]. En 1915, finalement, Einstein admit que c'était là le tenseur géométrique cherché, et ensuite, Élie Cartan démontra que c'était l'unique vérifiant l'équation $\nabla_i Gˆ{ij} = 0$ , à une constante additive près (qui donnera la constante cosmologique), et ne contenant que les dérivées premières et secondes des cœfficients

g i j

de la métrique de l'espace (condition signifiant que position, vitesse et accélération suffisent pour décrire l'évolution de tout dispositif physique, ce qui est une hypothèse héritée de Newton).

Mais l'histoire précise de la découverte de la relativité générale est riche de détails scientifiques et humains^[2], et est sujet à controverses.

Exemple : énergie cinétique relativiste

On montre ici comment l'expression relativiste de l'énergie cinétique, dans le cadre de la relativité restreinte, est approximativement identique à l'énergie cinétique classique lorsque la vitesse est particulièrement inférieure à celle de la lumière.

On part de l'équivalence célèbre d'Einstein :

Pour l'énergie lorsque le corps est au repos comparé à l'observateur $E_0 = m cˆ2 \$

Pour l'énergie lorsque le corps se déplace à la vitesse v comparé à l'observateur $E = \frac{m cˆ2}{\sqrt{1 - vˆ2/cˆ2}} \$

Lorsque la vitesse comparé à l'observateur est non nulle, l'énergie dépasse l'énergie au repos d'une quantité définie comme étant l'énergie cinétique :

$T = E - E_0 = \frac{m cˆ2} {\sqrt{1 - vˆ2/cˆ2}} \ - \ m cˆ2 \$

$T \approx m cˆ2 \left( (1 - (-\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} )vˆ2/cˆ2) - 1 \right) = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} m vˆ2 \$

On retrouve bien l'expression classique de l'énergie cinétique.

Références

↑ Jean-Paul Auffray, Einstein et Poincaré, 1999, Ed Le Pommier; p226 à 228
↑ Jean-Paul Auffray, Einstein et Poincaré, 1999, Ed Le Pommier. On peut voir que le site science. gouv. fr une rapide critique de ce livre [1]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d'une traduction de l'article de Wikipédia en anglais intitulé «Correspondence principle».
Weidner, Richard T., and Sells, Robert L. (1980) Elementary Modern Physics. ISBN 0-205-06559-7

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