Sphère de Bloch

La sphère de Bloch est une représentation géométrique d'un état pur d'un dispositif quantique à deux niveaux ; c'est par conséquent, entre autre, une représentation d'un qubit.

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Mécanique quantique - Physique quantique

La sphère de Bloch est une représentation géométrique d'un état pur d'un dispositif quantique à deux niveaux ; c'est par conséquent, entre autre, une représentation d'un qubit. Il est envisageable de généraliser la construction de cette sphère un à un dispositif à $n$ niveaux.

La mécanique quantique se formalise dans les espaces de Hilbert, ou plus précisément, dans les espaces de Hilbert projectifs. L'espace projectif des états purs d'un dispositif à 2 niveaux est isomorphe à une sphère.

La métrique naturelle de la sphère de Bloch est la métrique de Fubini-Study.

Le qubit

Considérons un état pur $|\psi\rangle$ d'un dispositif à deux niveaux. En toute généralité, on peut le décomposer sur les états propres de l'espace $|0\rangle$ et $|1\rangle$ par : $|\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle$ avec $α 2 + β 2 = 1$ et $(\alpha,\beta)\in\mathbb{C}ˆ2$ . De plus, puisque les facteurs de phase n'affectent pas l'état physique d'un dispositif, nous pouvons sans perte de généralité supposer $α$ réel positif, et réécrire $|\psi \rangle = \cos \theta \, |0 \rangle + eˆ{i \phi} \sin \theta \,|1 \rangle$ avec $0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}, \quad 0 \leq \phi < 2 \pi.$

Cette représentation décrit ψ sans ambiguïté, sauf dans les cas où il est dans un état propre. Les paramètres φ et θ spécifient de manière unique un point sur la sphère unité de $\mathbb{R}ˆ3$ ayant pour coordonnées cartésiennes : $\begin{matrix} x & = & \sin 2 \theta \times \cos \phi \\ y & = & \sin 2 \theta \times \sin \phi \\ z & = & \cos 2 \theta \end{matrix}$ Dans cette représentation, $|0 \rangle \cong (0,0,1)$ et $|1 \rangle \cong (0,0,-1)$

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