Matrice densité

La matrice densité, ou opérateur densité est une entité mathématique introduite par le mathématicien et physicien John von Neumann.

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Mécanique quantique - Physique quantique

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La matrice densité, ou opérateur densité est une entité mathématique introduite par le mathématicien et physicien John von Neumann. Elle sert à résumer en une seule matrice tout la totalité envisageable des états quantiques d'un dispositif physique donné à un instant donné, mariant ainsi mécanique quantique et physique statistique.

Cas pur

La description du dispositif se fait ici grâce à un vecteur d'état $| \psi(t) \rangle$ qu'on peut développer sur la base des $\{ | u_n \rangle \}$ :

$\left| \psi(t) \right\rangle = \sum_n {c_n(t) \cdot \left| u_n \right\rangle}$

avec $\sum_n | c_n(t) |ˆ2 = 1\,$

L'opérateur densité est défini pour un état pur par :

$\hat \rho = |\psi(t) \rangle \langle \psi(t) | = \sum_{n,p} c_nˆ*(t) c_p(t) | p \rangle \langle n |$

Mélange statistique d'états purs

En admettant qu'un certain dispositif physique puisse être, à un certain instant t, dans un mélange statistique (fini ou illimité) d'états quantiques $| \psi_i \rangle$ avec des probabilités $p i$ (où $\sum_i p_i = 1\,$ ), alors la matrice densité représentant la totalité de ces états est :

$\hat \rho = \sum_i p_i |\psi_i \rangle \langle \psi_i |$

L'aspect statistique introduit ici est de deux natures, l'une classique et l'autre quantique :

1. classique : dû à l'estimation du ket par une distribution statistique des différents kets envisageables,

2. quantique : incertitude quantique principale même si le dispositif est idéalement déterminé.

Les éléments de la matrice densité valent :

$\hat \rho_{pn} = \sum_i p_i \langle u_pˆ{(i)} | \hat \rho_i | u_nˆ{(i)} \rangle = \sum_i p_i c_nˆ{(i)*} c_pˆ{(i)}$

Démonstration

$\hat \rho_{pn} = \sum_i p_i \langle u_pˆ{(i)} |\hat \rho | u_nˆ{(i)} \rangle = \langle u_pˆ{(i)} | (\sum_i p_i |\psi_i \rangle \langle \psi_i| )| u_nˆ{(i)} \rangle$

$\hat \rho_{pn} = \sum_i p_i \langle u_pˆ{(i)} | (\sum_{p'} c_{p'}ˆ{(i)} |u_{p'}ˆ{(i)} \rangle) (\sum_{n'} c_{n'}ˆ{(i)*}\langle u_{n'}ˆ{(i)}| )| u_nˆ{(i)} \rangle$

où $\langle u_{n'}ˆ{(i)} | u_nˆ{(i)} \rangle = \begin{cases} 1 & n'=n\\ 0 & sinon \end{cases}$ d'où $\hat \rho = \sum_i p_i |\psi_i \rangle \langle \psi_i |$

Propriété

La matrice obtenue a les propriétés suivantes :

Elle est hermitienne, $\hat \rho =\hat \rhoˆ{\dagger}$ , elle peut par conséquent être diagonalisée, et ses valeurs propres sont positives.
Sa trace est identique à 1, $Tr(\hat A) =1$ , conservation de la probabilité totale.
Elle doit être définie positive ou nulle.
Dans le cas d'un état pur, l'opérateur densité est alors un projecteur : $\hat \rhoˆ2 = \hat \rho$ .
$Tr(\rhoˆ2) \le 1$ , avec identiqueité si et uniquement si le dispositif physique est dans un état pur (c'est-à-dire que l'ensemble des $p i$ sont nuls sauf un).

Valeur moyenne

On peut calculer la valeur moyenne d'une observable A à partir de la formule :

$\langle \hat A \rangle = \langle \Psi |\hat A | \Psi \rangle = Tr(\hat A \hat \rho) = Tr(\hat \rho \hat A)$

avec $\hat \rho = \sum_iˆN p_i \hat \rho_i$ est la matrice densité d'un mélange statistique d'états.

Démonstration

On considère un mélange statistique d'états :

$| \Psi_i \rangle = \sum_{n,i} c_nˆ{(i)} |u_nˆ{(i)} \rangle$

$\langle \hat A \rangle = \sum_i p_i \langle \Psi_i | \hat A | \Psi_i \rangle = \sum_i p_i \sum_{n,p} c_nˆ{(i)*} c_pˆ{(i)} \langle u_nˆ{(i)} |\hat A| u_pˆ{(i)} \rangle$

$\langle \hat A \rangle = \sum_i p_i \sum_{n,p} \hat \rho_{pn} \langle u_nˆ{(i)} | \hat A| u_pˆ{(i)} \rangle$

$\langle \hat A \rangle = \sum_i p_i \sum_{n,p} \langle u_pˆ{(i)} | \hat \rho | u_nˆ{(i)}\rangle \langle u_nˆ{(i)} | \hat A| u_pˆ{(i)} \rangle$

$\langle \hat A \rangle = \sum_i p_i Tr(\hat \rho_i \hat A)$

d'où : $\langle \hat A \rangle = Tr(\hat A \hat \rho) = Tr(\hat \rho \hat A)$

Evolution avec le temps

Article détaillé : Opérateur d'évolution.

L'évolution temporelle de l'opérateur d'état est donné par l'équation de Schrödinger dépendante du temps :

$\hat H \left| \Psi (t)\right\rangle = i \hbar {d\over dt} \left| \Psi (t) \right\rangle$

Lien avec l'entropie

Enfin, on peut définir l'entropie de Von Neumann :

$S=-k_B Tr(\hat \rho\ln(\hat \rho))$

où $k B$ est la constante de Boltzmann.

L'entropie d'un état pur est nul, car il y a aucune incertitude sur l'état du dispositif. On peut aussi trouver une base où la matrice est diagonale, avec des 0, et un 1 sur la diagonale, ce qui donne bien une entropie identique à 0.

Voir aussi

Bibliographie

C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions]
Bernard Diu, Claudine Guthmann, Danielle Lederer et Bernard Roudet, Éléments de physique statistique, 1996 [détail des éditions]

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