Coefficients de Clebsch-Gordan

En physique, les cœfficients de Clebsch-Gordan sont des nombres qui apparaissent lors de l'étude des couplages de moment angulaire soumis aux lois de la mécanique quantique.

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Mécanique quantique - Physique quantique

En physique, les cœfficients de Clebsch-Gordan sont des nombres qui apparaissent lors de l'étude des couplages de moment angulaire soumis aux lois de la mécanique quantique. Ils portent le nom des mathématiciens allemands Alfred Clebsch (1833-1872) et Paul Gordan (1837-1912), qui rencontrèrent un problème identique en théorie des invariants.

En théorie de la représentation, surtout des groupes de Lie compacts, ces cœfficients sont utilisés pour effectuer la somme directe du produits tensoriels de deux représentations irréductibles.

On peut définir les cœfficients de Clebsch-Gordan associés au groupe SO (3) d'une manière plus directe, comme produit d'harmoniques sphériques. L'addition de spins en mécanique quantique se comprend par cette approche. Dans cet article, on utilisera la notation bra-ket de Dirac.

Opérateurs de moment angulaire

Les opérateurs de moment angulaire sont les opérateurs hermitiens $j 1, j 2$ et $j 3$ qui vérifient les relations suivantes :

$\left[ j_k,j_l \right] = i \sum_{m=1}ˆ3 \varepsilon_{klm}j_m \,$

avec $\varepsilon_{klm}$ le symbole de Levi-Civita. Ces trois termes peuvent être reconnus comme les composantes d'un opérateur vectoriel $\mathbf{j}$ . Le carré de la norme de $\mathbf{j}$ est défini par :

$\mathbf{j}ˆ2 = j_1ˆ2+j_2ˆ2+j_3ˆ2$

On définit aussi les opérateurs $(j +)$ et $(j -)$ par :

$j_\pm = j_1 \pm i j_2. \,$

États de moment angulaire

On peut montrer que $\mathbf{j}ˆ2$ commute avec $j 1, j 2$ et $j 3$ :

$\left[ \mathbf{j}ˆ2, j_k \right] = 0$ avec k = 1, 2, 3.

Quand deux opérateurs hermitiens commutent, ils possèdent un ensemble commun de fonctions propres. Par convention, on choisit $\mathbf{j}ˆ2$ et $j 3$ . Selon les relations de commutation, on détermine les valeurs propres :

$\begin{alignat}{2} \mathbf{j}ˆ2 |j m\rangle = j\left(j+1\right) |j m\rangle & \;\;\; j=0, 1/2, 1, 3/2, 2, \ldots\\ j_3|j m\rangle = m |j m\rangle & \;\;\; m = -j, -j+1, \ldots , j. \end{alignat}$

Les opérateurs $(j +)$ et $(j -)$ changent la valeur de $m$ :

$j_\pm |jm\rangle = C_\pm \left(j,m\right) |j m\pm 1\rangle$

avec

$C_\pm \left(j,m\right) = \sqrt{j\left(j+1\right)-m\left(m\pm 1\right)} = \sqrt{\left(j\mp m\right)\left(j\pm m + 1\right)}.$

Un facteur de déphasage (complexe) peut être ajouté à la définition de $C_\pm\left(j,m\right)$ . Les états de moment angulaire doivent être orthogonaux — car leurs valeurs propres sont différentes — et sont supposés normalisés :

$\langle j_1 m_1 | j_2 m_2 \rangle = \delta_{j_1,j_2}\delta_{m_1,m_2}.$

Définition

Les états de moment angulaire peuvent être développés en les supposant non-couplés :

$|\left(j_1j_2\right)JM\rangle = \sum_{m_1=-j_1}ˆ{j_1} \sum_{m_2=-j_2}ˆ{j_2} |j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle$

Les cœfficients qui apparaissent dans le développement, notés $\langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle$ , sont les cœfficients de Clebsch-Gordan.

En appliquant l'opérateur :

$J_3 = j_3 \otimes 1 + 1 \otimes j_3$

des deux côtés de l'égalité, on montre que les cœfficients de Clebsch-Gordan peuvent ne pas être nuls uniquement lorsque :

$M = m_1 + m_2.\,$

Relations d'orthogonalité

On peut introduire la notation alternative, mais équivalente, suivante :

$\langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle \equiv \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M \rangle$

Il est alors envisageable d'établir deux relations d'orthogonalité :

$\sum_{J=|j_1-j_2|}ˆ{j_1+j_2} \sum_{M=-J}ˆ{J} \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M \rangle \langle J M|j_1 m_1' j_2 m_2'\rangle = \delta_{m_1,m_1'}\delta_{m_2,m_2'}$

$\sum_{m_1m_2} \langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J' M' \rangle = \delta_{J,J'}\delta_{M,M'}$

Propriétés de symétrie

La relation de symétrie suivante est toujours valable :

$\langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M \rangle = \left(-1\right)ˆ{j_1+j_2-J}\langle j_1 {-m_1} j_2 {-m_2}|J {-M}\rangle= \left(-1\right)ˆ{j_1+j_2-J} \langle j_2 m_2 j_1 m_1|J M \rangle.$

Lien avec les symboles 3—jm

Les cœfficients de Clebsch-Gordan sont reliés aux symboles 3-jm, qui sont plus agréables à manipuler du fait de symétries plus simples. Cette relation s'exprime par l'équation suivante :

$\langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 \rangle = \left(-1\right)ˆ{j_1-j_2+m_3}\sqrt{2j_3+1} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & -m_3 \end{pmatrix}.$

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d'une traduction de l'article de Wikipédia en anglais intitulé «Clebsch-Gordan cœfficients».

Liens externes

Bibliographie

C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions]
Albert Messiah, Mécanique quantique [détail des éditions]
(en) Edmonds, A. R. : «Angular Momentum in Quantum Mechanics», Princeton University Press (1957). ISBN 0-691-07912-9.
(en) Condon, Edward U., Shortley, G. H. : «The Theory of Atomic Spectra», Cambridge University Press (1970). ISBN 0-521-09209-4.
(en) Brink, D. M., Satchler, G. R. : Angular Momentum, 3^e édition, Clarendon Press (1993), Oxford. ISBN 0-19-851759-9.
(en) Zare, Richard N. : Angular Momentum, John Wiley & Sons (1988), New York. ISBN 0-471-85892-7.
(en) Biedenharn, L. C., Louck, J. D., Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley (1981), Reading, Massachusetts. ISBN 0-201-13507-8.

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