Théorème d'Ehrenfest

Le théorème d'Ehrenfest, du nom du physicien Paul Ehrenfest, relie la dérivée temporelle de la valeur moyenne d'un opérateur quantique au commutateur de cet opérateur avec le hamiltonien du dispositif.

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Le théorème d'Ehrenfest, du nom du physicien Paul Ehrenfest, relie la dérivée temporelle de la valeur moyenne d'un opérateur quantique au commutateur de cet opérateur avec le hamiltonien $\hat{H}$ du dispositif.

Théorème

Le théorème d'Ehrenfest affirme que la valeur moyenne d'un opérateur $\hat{A}$ est donnée par :

$\frac{d\langle \hat{A}\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar} \left \langle \psi (t) \right |[\hat{A},\hat{H}]\left | \psi (t) \right \rangle + \langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\rangle$

Ce théorème s'adapte idéalement à la représentation de Heisenberg en mécanique quantique, et il est étroitement lié au théorème de Liouville de la mécanique hamiltonienne, qui utilise le crochet de Poisson au lieu d'un commutateur. En réalité, c'est une loi empirique générale qu'un théorème de mécanique quantique qui contient un commutateur puisse devenir un théorème de mécanique classique en changeant le commutateur par un crochet de Poisson et en multipliant par $i\hbar$ .

où $\hat{A}$ est un opérateur quantique quelconque et $\langle \hat{A}\rangle$ sa valeur moyenne.

Démonstration du théorème

Soit A une grandeur physique représentée par l'opérateur autoadjoint $\hat{A}$

$\langle \hat{A}\rangle = \left \langle \psi (t) \right |\hat{A}\left | \psi (t) \right \rangle$

En dérivant $\langle \hat{A}\rangle$ , on obtient

$\frac{d\langle \hat{A}\rangle}{dt} = \frac{d\left \langle \psi (t) \right |}{dt}|\hat{A}\left | \psi (t) \right \rangle + \left \langle \psi (t) \right |\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\left | \psi (t) \right \rangle + \left \langle \psi (t) \right |\hat{A}|\frac{d\left | \psi (t) \right \rangle}{dt}$

On remarque que $\frac{d\left \langle \psi (t) \right |}{dt} = -\frac{1}{i\hbar}\left \langle \psi (t) \right |\hat{H}$ et $\frac{d\left | \psi (t) \right \rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar}\hat{H}\left | \psi (t) \right \rangle$

On insère ces deux expressions dans l'expression précédente et on obtient

$\frac{d\langle \hat{A}\rangle}{dt} = \langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\rangle + \frac{1}{i\hbar} \left \langle \psi (t) \right |\hat{A}\hat{H} - \hat{H}\hat{A}\left | \psi (t) \right \rangle$

Avec $\hat{A}\hat{H} - \hat{H}\hat{A} = [\hat{A},\hat{H}]$ , on obtient finalement

$\frac{d\langle \hat{A}\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar} \left \langle \psi (t) \right |[\hat{A},\hat{H}]\left | \psi (t) \right \rangle + \langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\rangle$

Relations d'Ehrenfest

Pour l'exemple particulièrement général d'une particule massive se déplaçant dans un potentiel, l'hamiltonien est simplement

$\hat{H}(x,p,t) = \frac{\hat{p}ˆ2}{2m} + \hat{V}(x,t)$

où x est la position de la particule. On a alors les relations suivantes :

$\frac{d}{dt}\langle\hat p\rangle = \langle F \rangle$

$\frac{d}{dt}\langle \hat r\rangle = \frac{1}{m} \langle \hat p \rangle$

En combinant ces deux relations, on retrouve une équation comparable à celle de Newton en mécanique classique :

$m\frac{dˆ2}{dtˆ2}\langle \hat r\rangle = \langle\hat F \rangle$

Opérateur impulsion

On suppose qu'on veut connaître la varitation instantanée de la quantité de mouvement p. En utilisant le théorème d'Ehrenfest , on a

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,H]\rangle + \langle \frac{\partial p}{\partial t}\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,V(x,t)]\rangle$

puisque p commute avec lui-même et puisque quand il est représentée avec les coordonnées d'espace, l'opérateur d'impulsion

$p = -i\hbar\nabla$ soit $\frac{\partial p}{\partial t} = 0$ .

Donc

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phiˆ* V(x,t)\nabla\Phi∼dxˆ3 - \int \Phiˆ* \nabla (V(x,t)\Phi)∼dxˆ3.$

Par la suite en appliquant la règle du produit, on a

$\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \langle -\nabla V(x,t)\rangle = \langle F \rangle,$

on voit naitre la seconde loi de Newton. C'est un exemple du principe de correspondance ; le résultat veut dire, comme la seconde loi de Newton, que le mouvement net de la plupart de particules est précisément donné par la valeur moyenne d'une particule seule.

Opérateur position

On peut aussi obtenir une autre relation en remplacant l'opérateur $\hat A$ par $\hat r$ :

$\frac{d}{dt}\langle \hat r\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [\hat r,\hat H]\rangle + \langle \frac{\partial \hat r}{\partial \hat t}\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [\hat r,\frac{\hat pˆ2}{2m}]\rangle$

En utilisant les relations de communtations,

$[\hat r, \frac{\hat p ˆ2}{2m}] = \frac{i \hbar }{m} \hat p$

on obtient :

$\frac{d}{dt}\langle \hat r\rangle = \frac{1}{m} \langle \hat p \rangle$

Voir aussi

Bibliogrphie

C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions]

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