Chaos quantique

Le «chaos quantique» est un raccourci qui sert à désigner un champ de recherches ouvert dans les années 1970 qui est issu des succès de la théorie du chaos en dynamique hamiltonienne classique.

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Physique théorique - Physique quantique

Le «chaos quantique» est un raccourci qui sert à désigner un champ de recherches ouvert dans les années 1970 qui est issu des succès de la théorie du chaos en dynamique hamiltonienne classique. Ce champ de recherche tente principalement de répondre à la question :

Quel est le comportement en mécanique quantique d'un dispositif classiquement chaotique ?

Ces recherches ont montré que :

il n'existe pas de «chaos quantique» au sens strict du terme, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de divergence exponentielle des états quantiques au cours du temps dans l'espace de Hilbert qui serait l'analogue de la divergence exponentielle des orbites dans l'espace des phases classique. Cette absence de «sensibilité aux conditions initiales» en mécanique quantique est lié au fait que l'équation de Schrödinger est une équation linéaire. C'est pourquoi Michæl Berry a suggeré d'utiliser l'expression «chaologie quantique» à la place de «chaos quantique».

cependant, les dispositifs physiques classiquement chaotiques présentent certaines propriétés quantiques clairement différentes de celles des dispositifs classiquement intégrables : il existe en quelque sorte des «signatures» quantiques du chaos classique sous-jacent.

Orbites périodiques & spectre d'énergie

En utilisant la formulation de Feynman en intégrale de chemin de la mécanique quantique, Martin Gutzwiller (IBM, New York) a démontré en 1971 une relation intégrale liant à la limite semi-classique le spectre d'énergie quantique d'un dispositif physique aux orbites périodiques classiques de ce même dispositif. Cette relation est actuellement nommée formule des traces de Gutzwiller en son honneur^[1]. Or, les orbites périodiques ont des propriétés particulièrement différentes selon que la dynamique hamiltonienne classique est intégrable ou chaotique.

Il est intéressant de remarquer qu'il existe un dispositif physique pour lequel la formule des traces approchée de Gutzwiller est en fait exacte : c'est le flot géodésique sur une surface compacte à courbure négative constante^[2]. Une telle surface X peut se représenter comme l'espace quotient du demi-plan de Poincaré $\mathbb{H}$ par un sous-groupe discret $Γ$ du groupe $PSL(2,\mathbb{R})$ des isométries :

$X \ = \ \Gamma \backslash \mathbb{H}$

Cette formule exacte a été établie en 1956 par le mathématicien Selberg (indépendamment de la physique et des intégrales de chemin), et est actuellement nommée formule des traces de Selberg en son honneur.

Propriétés statistiques du spectre d'énergie

Les propriétés statistiques du spectre d'énergie d'un dispositif physique classiquement chaotique sont particulièrement différentes de celle d'un dispositif intégrable. Oriol Bohigas, Marie-Joya Giannoni et Charles Schmidt (Institut de physique nucléaire, Orsay) ont conjecturé que les propriétés des fluctuations statistiques du spectre d'énergie d'un dispositif physique classiquement chaotique sont universelles (une fois normalisées), et bien décrites par un ensemble de matrices aléatoires qui ne dépend que des symétries du dispositif.

Formule des traces de Gutzwiller

Martin Lubcke ; Gutzwiller Trace Formula and Applications (Juin 2001). Texte au format pdf.

Optique atomique

Farhan Saif ; Classical and Quantum Chaos in Atom Optics, Physics Reports 419 (2005) 207 et Physics Reports 425 (2006) 369. Texte complet disponible sur l'ArXiv : quant-ph/0604066.

Notes & références

↑ Martin C. Gutzwiller ; Periodic orbits and classical quantization conditions, Journal of Mathematical Physics 12 no. 3 (1971).
↑ Nandor Balàzs & André Voros ; Chaos on the pseudosphere, Physics Report 143 (1986) 109.

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