Quadri-moment

En relativité restreinte, le quadri-moment est une généralisation du moment tridimensionnel classique à un espace-temps à 4 dimensions.

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Théorie quantique des champs - Physique quantique - Relativité

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Chapitre III : Les différentes particules les plus usuelles..... un propagateur identique à où m est la masse du boson est q le quadri - moment énergie transféré.... (source : physique.quantique.free)

En relativité restreinte, le quadri-moment est une généralisation du moment tridimensionnel classique à un espace-temps à 4 dimensions. Le moment est un vecteur de l'espace (donc le plus souvent à 3 dimensions) ; de la même manière, le quadri-moment est un quadrivecteur de l'espace-temps. Le quadri-moment covariant d'une particule avec un moment tridimensionnel $\vec p = (p_x, p_y, p_z)$ et d'énergie $E$ est

$\begin{pmatrix} p_0 \\ p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -E/c \\ p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix}$

Le quadri-moment est fréquemment utilisé en calcul relativiste car c'est un vecteur de Lorentz. Cela sert à lui appliquer (assez) aisément des Transformations de Lorentz.

Norme de Minkowski : p²

En calculant la norme de Minkowski d'un quadri-moment, on obtient un invariant de Lorentz identique (à un facteur identique à la vitesse de la lumière c près) au carré de la masse au repos de la particule :

$- |p|ˆ2 = - \etaˆ{\mu\nu} p_\mu p_\nu = {Eˆ2 \over cˆ2} - |\vec p|ˆ2 = mˆ2cˆ2$

en utilisant la convention du dispositif mondial d'unités :

$\etaˆ{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

qui est l'inverse du tenseur métrique^[1] en relativité restreinte. Puisque $|p|ˆ2\!$ est un invariant de Lorentz, sa valeur reste inchangée par transformations de Lorentz, c'est-à-dire par plongement dans différents référentiels.

Relation avec la quadrivitesse

Pour une particule pourvue de masse, le quadri-moment est donné par la masse au repos fois la quadrivitesse :

$p_\mu = m \, \eta_{\mu\nu} Uˆ\nu\!$

où la quadrivitesse est

$\begin{pmatrix} Uˆ0 \\ Uˆ1 \\ Uˆ2 \\ Uˆ3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma \\ \gamma vˆx \\ \gamma vˆy \\ \gamma vˆz \end{pmatrix}$

et $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})ˆ2}}$ est le facteur de Lorentz et c est la vitesse de la lumière.

Conservation du quadri-moment

La conservation du quadri-moment dans un référentiel donné^[2] implique deux lois de conservations pour des quantité dites classiques :

La quantité totale d'énergie E = - p₀ est invariante.
Le moment classique tridimensionnel $\vec p$ reste invariant.

On notera au passage que la masse d'un dispositif de particules peut être supérieure à la somme des masses des particules au repos, à cause de l'énergie cinétique. A titre d'exemple, prenons 2 particules de quadri-moment {-5 Gev, 4 Gev/c, 0, 0} et {-5 Gev, -4 Gev/c, 0, 0} ayant chacune une masse au repos de 3 Gev/c² mais leur masse totale (soit toujours la masse du dispositif) est de 10 Gev/c². Si ces 2 particules entrent en collision et fusionnent, la masse de l'objet ainsi constitué est de 10 Gev/c².

Une applicaton pratique en physique des particules de la conservation de la masse au repos permet, à partir des quadri-moments p^A et p^B de 2 particules créées par la désintégration d'une particule plus grosse ayant un quadri-moment q, de retrouver la masse de la particule d'origine. La conservation du quadrimoment donne q_μ = p^A_μ + p^B_μ, et la masse M de la particule d'origine est donnée par -|q|² = M²c². En mesurant l'énergie et les 3-moments des particules résultantes, on peut calculer la masse au repos du dispositif des 2 particules qui est identique à M. Cette technique est surtout utilisée dans les recherches expériementales sur le boson Z dans les accélérateur de particules.

Si la masse d'un objet ne change pas, le produit scalaire de Minkowski de son quadri-moment et de la quadri-accélération correspondante A^μ est nul. L'accélération est proportionnelle à la dérivée temporelle du moment divisée par la masse de la particule :

$p_{\mu} Aˆ{\mu} = p_{\mu} \frac{d}{dt} \frac{\etaˆ{\mu\nu} p_{\nu}}{m} = \frac{1}{2m} \frac{d}{dt} |p|ˆ2 = \frac{1}{2m} \frac{d}{dt} (-mˆ2cˆ2) = 0 .$

Moment canonique en présence d'un champ électromagnétique

Il est aussi utile de définir un moment "canonique" (à 4 dimensions), pour des applications en mécanique quantique relativiste : $P μ$ , qui est la somme du quadri-moment et du produit de la charge électrique avec le potentiel (qui est un vecteur à 4 dimensions) :

$P_{\mu} = p_{\mu} + q A_{\mu} \!$

où le 4-vecteur potentiel est une combinaison entre le potentiel scalaire et le potentiel vecteur du champ magnétique :

$\begin{pmatrix} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\phi \\ A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix}$

Voir aussi

Notes

↑ Le tenseur métrique est en fait défini à un signe près. On trouvera dans certains ouvrages la convention $η μν = (+, -, -, -)$ au lieu de la convention $η μν = (-, +, +, +)$ adoptée dans cet article. Les résultats physiques sont bien entendu les mêmes quelle que soit la convention choisie, mais il faut prendre garde de ne pas les mélanger.
↑ La conservation du quadri-moment veut dire que dans un référentiel donné, le quadri-moment total $p ν$ d'un dispositif isolé est conservé. Quand on change de référentiel, le quadri-moment subit une transformation de Lorentz : $pˆ\mu={\Lambdaˆ\mu}_\nu pˆ\nu$ . Le nouveau quadri-moment $p μ$ est à son tour conservé dans ce nouveau référentiel, mais n'est pas identique à $p ν$ .

References

Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd) . Oxford : Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5.

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