Logique quantique

La logique quantique est celle qui respecte les postulats de la mécanique quantique. Surtout les observables n'étant pas nécessairement commutatives, le théorème d'Heisenberg, entraîne la notion d'intricats, notion purement quantique : par...



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  • mations unitaires et chaque porte logique quantique est une matrice..... A. R. Calderbank, P. W. Shor : Good quantum error-correcting codes exist, Phys.... (source : smf.emath)

La logique quantique est celle qui respecte les postulats de la mécanique quantique. Surtout les observables n'étant pas nécessairement commutatives, le théorème d'Heisenberg (cf. principe d'incertitude), entraîne la notion d'intricats, notion purement quantique : par exemple la notion de chat mort & vivant, comme dans le célèbre paradoxe du chat de Schrödinger.

Ce que John von Neumann a montré clairement, en réfléchissant aux fondations de la mécanique quantique, est que la logique d'Aristote (cf. Organon) était en contradiction avec la logique quantique. Surtout la notion du tiers exclu n'existe pas en logique quantique.

Mackey, puis Varadarajan ont développé ces réflexions, puis énormément d'autres.

Il a fallu énormément de temps à la communauté scientifique pour sauter le pas et faire abstraction de 2000 ans de logique aristotélicienne; on en veut pour preuve le nombre de décennies nécessaires pour écrire et réécrire sur le "voile soulevé " (d'Espagnat, école des variables cachées, école de BOHM, etc. ).

Néanmoins, les inégalités de Bell (1964) ont montré, par l'expérience (1982) que la réalité de la mécanique quantique était certainement non-locale : une paire intriquée le reste fût-elle grande de 20 km (cf. Paradoxe EPR). On vend aujourd'hui des crypteurs quantiques infalsifiables, à cause de ce comportement de la logique quantique (cf. cryptologie quantique).

De même, le théorème de non-clonage est validé par la mécanique quantique et la réalisation pratique de la téléportation quantique d'information (Haroche, professeur au Collège de France, préfère parler de fax quantique) est devenue une réalité.

Enfin, au moins sur le papier, il est démontré que les intricats permettent de réaliser des calculs plus rapidement en informatique quantique (algorithme de Shor, codes quantiques correcteurs d'erreurs, ... ).

Le théorème de Grünwald & van Hove

Pour montrer la subtilité de la non-commutativité, rappelons ce théorème qui fait obstruction à la quantisation de Hermann Weyl, par conséquent invalidée.

Weyl avait assez judicieusement choisi de passer de la mécanique classique à la mécanique quantique en remplaçant les crochets de Poisson de la géométrie symplectique en commutateur sur les observables.

Soit W (f)  := \hat{F}, l'opérateur observable associé à la variable classique f (q, p).

Pour Weyl, on aurait dû avoir [-i. W (f), -i. W (g) ] := -i. W ({f, g}).

où {f, g} sert à désigner le crochet de Poisson.

Et pour obtenir la quantification de q²p² on aurait pris le symétrisé 1/6 (Q²P² + QPQP + QP²Q + PQ²P + PQPQ + P²Q²).

Ce n'est malheureusement pas envisageable !

Considérons par exemple [W (q³), W (p³] et {x³, p³}= 3q². 3p²-0.

Convenons de rejeter l'opérateur Q à droite gràce à QP = PQ +i :

9 W (q²p²) = 9/6 (Q²P² + QPQP + QP²Q + PQ²P + PQPQ + P²Q²) = 3 (3P²Q² +6iPQ -3/2).

Or [Q³, P³]= 9 P²Q² +18 i PQ -6 (après calculs) n'est pas identique à la valeur précédente!

Géométrie non-commutative

Le processus de Weyl n'est pas le bon ! Il faudra pour obtenir la bonne mécanique quantique opérer en géométrie non commutative, c'est-à-dire avec un espace des phases non-commutatif. Or exactement la construction de cette géométrie est liée à la logique quantique, par une voie subtile récemment défrichée par Alain Connes et Pierre Cartier : le groupe sous-tendant l'architecture de la mécanique quantique n'est pas le groupe unitaire, mais une variante affinée. Par conséquent les quantités illimitées qui perturbent énormément les physiciens de la renormalisation deviennent au contraire compréhensibles, et en bonne logique quantique, tout rentre dans le rang.

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Bibliographie

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