Espace de Fock

L'espace de Fock est un espace de Hilbert utilisé en physique quantique pour décrire les états quantiques avec un nombre variable ou inconnu de particules.



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  • ... d'intégration par parties sur l'espace de Fock est un cas spécifique;..... Dans le cas de l'espace de Poisson, nous allons déplacer des particules, .... (t) ∼, et que Àt est obtenu à partir de Àt en modifiant l'état des points de A... (source : books.google)


L'espace de Fock est un espace de Hilbert utilisé en physique quantique pour décrire les états quantiques avec un nombre variable ou inconnu de particules.

L'espace de Fock se définit comme l'espace de Hilbert obtenu par la somme directe des produits tensoriels des espaces de Hilbert pour une particule.

F_\nu \left(H\right) = \bigoplus_{n=0}ˆ\infty S_\nu Hˆ{\bigotimes n}

où :

Exemple

Un exemple d'état de l'espace de Fock est

\left|\Psi\right\rangle_\nu = \left|\phi_1,\phi_2,...,\phi_n\right\rangle_nu

qui décrit n particules, une avec la fonction d'onde φ1, la seconde avec φ2 et ainsi de suite et où φi est une fonction d'onde quelconque de l'espace de Hilbert H à une particule. Lorsque nous parlons d'une particule dans l'état φi en mécanique quantique, les particules semblables sont indiscernables et , dans un même espace de Fock, l'ensemble des particules sont semblables (pour décrire plusieurs types de particules, il faut effectuer le produit tensoriel de plusieurs espaces de Fock différents). Une des propriétés les plus puissantes de ce formalisme est que les états sont intrinsèquement symétrisés correctement. A titre d'exemple, si l'état ci-dessus \left|\Psi\right\rangle_- est fermionique, il sera nul si deux (ou plus) des φi sont égaux car selon le principe d'exclusion de Pauli deux fermions (ou plus) ne peuvent pas être dans le même état quantique. De même, les états sont correctement normalisés, par construction.

Une base utile et pratique pour cet espace est la base du nombre de particules. Si \left|\psi_i\right\rangle est une base de H, alors nous pouvons noter l'état avec n0 particules dans l'état \left|\psi_0\right\rangle, n1 particules dans l'état \left|\psi_1\right\rangle, ..., nk particules dans l'état \left|\psi_k\right\rangle comme

\left|n_0,n_1,...,n_k\right\rangle_\nu

avec, évidemment, si ν = −, chaque ni prenant uniquement les valeurs 0 ou 1 (autrement l'état est nul).

Un tel état est nommé un état de Fock. Puisque les \left|\psi_i\right\rangle sont des états stationnaires des champs libres, c'est-à-dire avec un nombre définis de particules, un état de Fock décrit une assemblée de particules sans interaction en nombre définis. L'état pur le plus général est une superposition linéaire des états de Fock.

Deux opérateurs d'une immense importance sont les opérateurs de création et d'annihilation qui agissent sur un état de Fock en , respectivement, ajoutant et retirant une particule à l'état quantique décrit. Ils sont notés a\left(\phi\right) et aˆ\dagger\left(\phi\right) respectivement, où φ est l'état quantique \left|\phi\right\rangle dans lequel la particule est ajoutée ou retirée. Il est fréquemment utile de travailler avec des états de la base de H, ainsi ces opérateurs ajoutent et enlèvent précisément une particule dans l'état donné. Ces opérateurs servent aussi de base pour des opérateurs plus généraux agissant sur l'espace de Fock (par exemple, l'opérateur de nombre de particules dans l'état \left|\phi\right\rangle est aˆ\dagger\left(\phi\right)a\left(\phi\right)).

En pratique, on dispose le plus souvent des opérateurs de création et d'annihilation et on cherche à construire l'espace de Fock. On définit l'état du vide \left|0\right\rangle comme l'état qui est annulé par l'ensemble des opérateurs d'annihilation

a\left(\phi\right)\left|0\right\rangle = 0 pour tout φ

On peut ensuite construire les états à une particule en faisant agir l'opérateur de création sur l'état du vide : \left|\phi\right\rangle=aˆ\dagger\left(\phi\right)\left|0\right\rangle. On rédigé aussi de manière abrégée \left|1\right\rangle=aˆ\dagger\left|0\right\rangle. On procède de même pour les états à deux, trois... particules.

Par la suite, en utilisant la procédure mathématique standard de superposition linéaire et la complétion de Cauchy, on construit l'espace complet. L'espace résultant est l'espace de Fock recherché.

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