Moment magnétique intrinsèque

Au moment cinétique orbital d'une particule de charge q et de masse m est associé un moment magnétique orbital ...

Définition. Facteur de Landé

Au moment cinétique orbital d'une particule de charge $q$ et de masse $m$ est associé un moment magnétique orbital :

$\vec{\mu}_L \ = \ \frac{q}{2 m} \ \vec{L}$

Le facteur $q / 2 m$ est nommé rapport gyromagnétique. De même, on associe à une particule de charge $q$ , de masse $m$ , et de spin donné un moment magnétique de spin :

$\vec{\mu}_S \ = \ g \ \frac{q}{2 m} \ \vec{S}$

où $g$ est un nombre pur, nommé facteur de Landé (1921). Ce nombre fluctue selon la nature de la particule : on a approximativement $g = 2$ pour l'électron, $g = 2.793$ pour le proton, et $g=- \, 1?3$ pour le neutron ^[1].

Magnéton de Bohr

Pour l'électron, on a les valeurs suivante : $s= \hbar /2$ et $g = 2$ ; on introduit alors le «quantum magnétique» suivant, nommé magneton de Bohr :

$\mu_{B} = \frac{e \hbar}{2 m_e}$

Moment magnétique anormal de l'électron

L'équation de Dirac prédit pour l'électron un facteur de Landé précisément identique à : $g = 2$ . Or, la valeur expérimentale admise en 2005 vaut :

$g \ \simeq \ 2.002 \ 319 \ 304 \ 373 \ 7$

Il existe par conséquent un écart, décelé pour la première fois en 1947 dans la structure hyperfine de l'hydrogène et du deutérium.

Anomalie

On est ainsi amené à introduire une anomalie $a$ , définie par :

$g \ = \ 2 \ \left( \, 1 \, + \, a \, \right) \quad \Longleftrightarrow \quad a \ = \ \frac{(g \, - \, 2)}{2}$

La théorie quantique des champs du modèle standard sert à calculer cette anomalie. La contribution dominante vient de l'électrodynamique quantique pertubative, et se présente sous la forme d'un développement en série de puissances de la constante de structure fine $α$ , aussi nommée constante de couplage. Plus exactement, on est amené a écrire le développement suivant :

$a \ = \ A_1 \ \alpha_1 \ + \ A_2 \ \alpha_1ˆ2 \ + \ A_3 \ \alpha_1ˆ3 \ + \ A_4 \ \alpha_1ˆ4 \ + \ o(\alpha_1ˆ4)$

en puissances de $\alpha_1 = \alpha / \pi \simeq \ 0.002 \ 322 \ 819 \ 465 \ 36$ .

Première correction de Schwinger

Correction à une boucle au vertex électron-photon

Le premier terme du développement, calculé par Schwinger en 1948, vaut simplement : $A 1 = 1 / 2$ . C'est fut le premier grand succès de la toute nouvelle électrodynamique quantique. Ce calcul, qui repose sur le diagramme de Feynman ci-contre, est actuellement un exercice standard pour tout étudiant de troisième cycle débutant en théorie quantique des champs.

Malheureusement, les calculs des termes suivants sont bien plus compliqués, car le nombre de diagrammes croit exponentiellement vite avec l'ordre du développement.

Correction d'ordre deux

Ce calcul fait intervenir 7 diagrammes de Feynman. Un premier résultat - erroné - a été publié en 1950, puis revu et corrigé en 1957-1958. On obtient :

$A_2 \ = \ \frac{197}{144} \ + \ \left( \frac{1}{2} - 3 \ \ln 2 \right) \ \zeta (2) \ + \ \frac{3}{4} \ \zeta (3) \ \simeq \ - \ 028 \ 478 \ 965 ...$

où $ζ (s)$ est la fonction zeta de Riemann, définie par :

$<img class=$ ζ (2) = π² / 6.

Correction d'ordre trois

Ce calcul fait intervenir 72 diagrammes de Feynman. Le calcul, commencé en 1969, n'a été terminé et publié qu'en 1996. On obtient une expression analytique compliquée. Numériquement, on obtient :

$A_3 \ \simeq \ + \ 11 \ 241 \ 456 ...$

Correction d'ordre quatre

Ce calcul, qui fait intervenir 891 diagrammes de Feynman, est impossible à faire entièrement à la main en un temps raisonnable ! Il a requis l'usage intensif de l'ordinateur. Le meilleur résultat numérique, publié en 1999, est :

$A_4 \ \simeq \ - \ 1P9 \ 8 \ (38 \ 4)$

Comparaison théorie - expérience

L'électron étant le lepton le plus léger, les contributions à son moment magnétique des autres leptons, des bosons vecteurs de l'interaction faible, et des quarks et gluons, sont petites, mais non négligeables à la précision actuelle. Leurs inclusions donne la prédiction théorique du modèle standard :

$a_{th} \ \simeq \ 0.001 \ 159 \ 652 \ 153 \ 5 \ (24 \ 0)$

L'accord avec le résultats expérimental est à ce jour excellent :

$a_{exp} \ \simeq \ 0.001 \ 159 \ 652 \ 188 \ 4 \ ( 4 \ 3)$

Références

↑ Quoique le neutron ait une charge $q = 0$ , il possède un spin 1/2. On lui attribue ici un facteur de Landé corrspondant au moment magnétique de spin calculé pour la valeur $q = e$ , pour le comparer à ceux de l'électron et du proton.

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