Opérateur de position de Newton-Wigner

En théorie quantique relativiste, l'opérateur de position de Newton-Wigner est un opérateur introduit en 1949 par Newton et Wigner pour tenter de décrire la position de particules massives relativistes de spin arbitraire.



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En théorie quantique relativiste, l'opérateur de position de Newton-Wigner est un opérateur introduit en 1949 par Newton et Wigner pour tenter de décrire la position de particules massives relativistes de spin arbitraire.

Le problème de la localisation

Dans quelle mesure est-il envisageable de parler de la localisation d'une «particule» quantique dans une région de l'espace (et dans le temps)  ?

L'opérateur position de Newton-Wigner (1949)

En 1949, Newton et Wigner ont réussi à construire un nouvel «opérateur position» pour les particules massives relativistes de spin arbitraire. Moyennant quelques hypothèses générales raisonnables, ils ont créé un opérateur non-local dans l'espace physique. Les «états situés» associés à cet opérateur ne sont pas des distributions de Dirac. L'état situé autour de l'origine possède à longue distance une décroissance exponentielle avec une échelle caractéristique identique à la longueur d'onde de Compton de la particule massive. De plus, ces états situés ne sont pas invariants par transformation de Lorentz.

La construction de Newton-Wigner couvre aux particules de masse nulle de spin 0 (décrites par l'équation de Klein-Gordon) et de spin 1/2 (décrites par l'équation de Dirac), mais pas au photon, de spin 1.

Bibliographie

Notes

  1. Quand la particule est dans un état | \,  \psi \, \rangle, on peut par exemple calculer :
    • la position moyenne, donnée par : \langle \,  \psi \, | \ \hat{\mathrm{r}} \ | \,  \psi \, \rangle  ;
    • l'écart quadratique moyen Δr autour de cette position moyenne (dispersion), défini par :

     
\Delta \mathrm{r}ˆ2 \ = \ \langle \,  \psi \, | \ \hat{\mathrm{r}}ˆ2 \ | \,  \psi \, \rangle \ - \ \langle \,  \psi \, | \ \hat{\mathrm{r}} \ | \,  \psi \, \rangleˆ2

    La particule quantique est d'autant mieux située que cette dispersion est petite. La mécanique quantique n'interdit d'ailleurs pas de la prendre nulle, auquel cas la localisation spatiale est idéalement réalisée. (Il y a alors une dispersion maximale en quantité de mouvement pour satisfaire les inégalités de Heisenberg. )
  2. Un auteur a récemment remis en cause la validité du raisonnement de Pauli ; cf. e. g.  : quant-ph/9908033 ; quant-ph/0111061 ; quant-ph/0303106.
  3. En mécanique hamiltonienne, temps et énergie sont conjugués : le hamiltonien est le "générateur illimitétésimal" des translations dans le temps. Par ressemblance avec le couple position/impulsion satisfaisant [\hat{\mathrm{x}}ˆi, \, \hat{\mathrm{p}}_j ] = i \ \hbar \ \hat{\mathrm{\delta}}_jˆi, on serait alors amené à écrire : [\hat{\mathrm{H}},\hat{\mathrm{t}}] = (\pm) \ i \ \hbar \ \hat{\mathrm{1}}. Par conséquent, l'opérateur temps deviendrait réciproquement le générateur illimitétésimal des translations en énergie, et le spectre d'énergie serait le continuum \mathbb R entier, ce qui veut dire que l'énergie ne serait plus bornée inférieurement. Or la mécanique quantique a exactement été découverte pour rendre compte de la stabilité des atomes, et surtout de l'existence d'un état essentiel d'énergie finie.

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