Principe variationnel

Un principe variationnel est un principe physique issu d'un problème exprimé sous une forme variationnelle. Dans de nombreux cas, la résolution des équations de la mécanique peut se ramener à la recherche de géodésiques dans un espace général approprié.

Catégories :

Article à Texifier - Mécanique - Optique - Physique théorique - Physique quantique - Géodésie - Principe physique

Source image : fr.wikipedia.org
Cette image est un résultat de recherche de Google Image. Elle est peut-être réduite par rapport à l'originale et/ou protégée par des droits d'auteur.

Page(s) en rapport avec ce sujet :

Équations de Lagrange, principes variationnels...... Principe de superposition 2. Systèmes interférentiels à 2 ondes : division du front d'onde, ... (source : cat.inist)
Les équations de Lagrange à la lumière de la théorie de relativité... 6.1 Système expérimental...... L'amortissement et le principe variationnel.... (source : docinsa.insa-lyon)
d'énergie, que ce soit sur des dispositifs macroscopiques (équations.... qui illustre la physique des systèmes à porteurs.... Le programme comporte : la relativité, les principes variationnels et la mécanique analytique.... (source : graduateschool.paristech)

Un principe variationnel est un principe physique issu d'un problème exprimé sous une forme variationnelle. Dans de nombreux cas, la résolution des équations de la mécanique peut se ramener à la recherche de géodésiques dans un espace général approprié. D'une part, nous savons que ces géodésiques sont les extrémales d'une certaine intégrale représentant la longueur de l'arc joignant les points fixes dans cet espace. Donc, nous pouvons déjà prévoir qu'au moins occasionnellemen, les problèmes de mécanique pourront s'exprimer comme des problèmes aux variations, c'est à dire, en postulant que la variation première d'une certaine intégrale est nulle. On dira qu'on a diminué les problèmes à leur forme variationnelle. D'autre part, les équations d'Euler établies en mathématiques pour un problème aux variations sont identiques aux équations de Lagrange établies en physique pour résoudre des problèmes de mécanique ; cette similitude suggère bien bien entendu aussi la possibilité de cette réduction à une forme variationnelle.

Principe de Fermat

Article détaillé : principe de Fermat.

Pierre de Fermat (1601–1665)

Quoiqu'on puisse suivre la trace des principes variationnels d'une façon quasi continue de l'Antiquité à nos jours, il faut attendre plus d'un millénaire et demi — de Héron d'Alexandrie (vers la fin du I^er siècle ou le début du II^e siècle) au XVII^e siècle — jusqu'à Pierre de Fermat (1601–1665) pour en retrouver une application pratique. Le principe de Fermat, applicable aux rayons lumineux, peut s'écrire comme suit en tenant compte des améliorations intervenus depuis l'époque de Fermat lui-même :

$\delta \int_{P \rightarrow Q} vˆ{-1} ds$

où P et Q sont deux points fixes, v sert à désigner la vitesse de phase de la lumière et ds est l'élément d'arc du trajet emprunté par le rayon lumineux. La vitesse de phase, c'est à dire la vitesse de propagation, de la lumière peut fluctuer avec le point reconnu, mais non avec la direction du rayon en ce point. ^[1] Cette équation exprime que la variation (indiquée par la lettre grecque $δ$ ) de l'intégrale curviligne $\int_{P \rightarrow Q} vˆ{-1} ds$ est nulle, c'est-à-dire que la différence entre cette intégrale évaluée le long de la trajectoire réelle et l'intégrale évaluée le long de n'importe quelle trajectoire virtuelle illimitément voisine est un illimitément petit du second ordre. Ceci ne veut pas dire que l'intégrale est minimum, mais uniquement qu'elle est extrémum. En effet, c'est uniquement dans le cas où le trajet PQ est suffisamment petit, de façon à ce que des rayons «voisins» ne puissent recouper le rayon réel, qu'on peut démontrer qu'il s'agit effectivement d'un minimum.

Uniquement la propriété que la première variation est nulle peut être étendue à un trajet PQ arbitraire, d'où le nom moderne de «principe variationnel» plutôt que celui, ancien, de «principe de minimum». Et il faut bien reconnaître que cette modification de terme et d'interprétation fait perdre au principe de Fermat, sinon de son utilité, au moins légèrement de la valeur esthétique et philosophique qui a indéniablement joué un rôle dans son élaboration.

L'étude de certains dispositifs optiques simples permet d'illustrer le problème. En effet, représentons le milieu hétérogène étudié par un de ces dispositifs optiques. Dans cet exemple, l'image du point P, c'est-à-dire le lieu des points de rencontre de l'ensemble des rayons issus de P sous des angles un peu différents, est constituée de deux focales EF et GH dont la distance caractérise l'astigmatisme du dispositif. On peut alors montrer que l'intégrale curviligne $\int_{P \rightarrow Q} vˆ{-1} ds$ est minimale si le second point reconnu, à savoir Q, tombe avant les deux focales, qu'elle est maximale si Q tombe après les deux focales, et qu'elle satisfait à une condition mixte (elle n'est ni un minimum, ni un maximum) si Q tombe entre les deux focales.

Fonction de Hamilton ou Hamiltonien

Article détaillé : mécanique hamiltonienne.

William Rowan Hamilton (1805–1865)

Le principe de Fermat est un principe variationnel spécifiquement utile à l'optique géométrique. Pour résoudre des problèmes de mécanique, on utilise des principes variationnels faisant intervenir la fonction de Hamilton, qu'on sert à désigner le plus fréquemment sous le terme de «Hamiltonien». Pour arriver à comprendre le sens de cette fonction, considérons un problème à liaisons holonomes mais pouvant dépendre du temps t et qui admet le Lagrangien ^[2]

$\mathcal{L} ( q_i, \dot{q}_i, t ) = \mathcal{T} ( q_i, \dot{q}_i, t ) - \mathcal{V} (q_i, t)$

et étudions la valeur que prend l'intégrale d'action

$\mathcal{S} = \int_{t_0}ˆ{t_1 } \mathcal{L} ( q_i, \dot{q}_i, t ) dt$

au cours de l'évolution du dispositif mécanique reconnu.

Supposons qu'au cours du mouvement naturel du dispositif, le point représentatif dans l'espace de configuration parte d'une position d'origine Q₀ à l'instant t₀ pour aboutir au point Q₁ à l'instant t₁. Cette trajectoire naturelle est représentée schématiquement sur la figure ci-contre par la courbe en rouge. Considérons un mouvement arbitraire partant de P_o voisin de Q_o à l'instant t_o + δt_o pour aboutir au point P₁ voisin de Q₁ à l'instant t₁ + δt₁.

Nous désirons comparer les valeurs de $\mathcal{S}$ pour ces deux mouvements. Pour ce faire, nous calculons la variation de $\mathcal{S}$ , c'est-à-dire

$\delta \mathcal{S} = \delta \int_{t_0}ˆ{t_1} \mathcal{L} dt = \int_{ (P_0, t_0 + \delta t_0) \rightarrow( P_1, t_1 + \delta t_1)} \mathcal{L} dt - \int_{ (Q_0, t_0) \rightarrow( Q_1, t_1)} \mathcal{L} dt$

Au point M de coordonnées (q₁, q₂, ..., q_f), atteint sur la trajectoire naturelle à l'instant t, nous associerons sur la trajectoire virtuelle arbitraire le point M'de coordonnées (q₁+δ'q₁, q₂+δ'q₂, ..., q_f+δ'q_f) atteint aussi au même instant t. Soit Q'_o le point de la trajectoire variée, c'est–à-dire illimitément voisine de la trajectoire naturelle, atteint à l'instant t_o, et soit Q'₁ celui qui correspond à l'instant t₁. Notons les composantes de Q_oP_o, Q_oQ'_o, Q'_oP_o par δq_{i, o}, δ'q_{i, o}, Δq_{i, o} = (dq_{i, o}/dt) δt_o, respectivement, et celles de Q₁P₁, Q₁Q'₁, Q'₁P₁ par δq_{i, 1}, δ'q_{i, 1}, Δq_{i, 1} = q'_{i, 1} δt₁, respectivement.

La vitesse q'_{i, 1} sur la trajectoire variée ne diffère de celle sur la trajectoire réelle que par une quantité illimitément petite, laquelle ne donnerait dans Δq_{i, 1} qu'une correction du second ordre. En séparant les intégrations sur les segments terminaux Q'_oP_o et P₁Q'₁, nous obtenons :

$\delta \mathcal{S} = [ \mathcal{L}_1 \delta t_1 ]_{Qˆ{'}_1 P_1} - [ \mathcal{L}_0 \delta t_0 ]_{Q_0ˆ{'} P_0} + \int_{ (Q_0ˆ{'}, t_0) \rightarrow ( Q_1ˆ{'}, t_1)} \mathcal{L} dt - \int_{ (Q_0, t_0) \rightarrow ( Q_1, t_1)} \mathcal{L} dt = [\mathcal{L}_1 \delta t_1]_{Qˆ{'}_1 P_1} - [ \mathcal{L}_0 \delta t_0 ]_{Q_0ˆ{'} P_0} + \int_{ t_0 }ˆ{t_1} \deltaˆ{'} \mathcal{L} dt \;\;\;\;\; (1)$

L'intégrand δ'L dans la dernière intégrale est calculé entre des points des deux trajectoires correspondant aux mêmes instants t. On trouve que l'intégrale ∫_{t_o→t₁} δ'L dt vaut^[3]

$\int_{t_0}ˆ{t_1} \deltaˆ{'} \mathcal{L} dt = \sum_k \left[ \dfrac{ \partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k} \deltaˆ{'} q_k \right]_1 - \sum_k \left[ \dfrac{ \partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k} \deltaˆ{'} q_k \right]_0 + \int_{t_0}ˆ{t_1} \sum_k \left[ \dfrac{ \partial \mathcal{L}}{\partial q_k} - \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{ \partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k}\right) \right] \deltaˆ{'} q_k dt \;\;\;\;\; (2)$

En introduisant les moments conjugués p_k aux coordonnées généralisées contravariantes q_k, qui représentent les composantes covariantes de la vitesse, et en se souvenant que selon les équations de Lagrange, ^[4] l'expression figurant entre crochets dans le dernier terme est nulle, on trouve finalement

Comme δ'q₁ = Q₁Q'₁ = Q₁P'₁ – Q'₁P'₁, il vient en termes de composantes : δ'q_k₁ = δq_k₁ – Δq_k₁ = δq_k₁ – q'_k₁ δt₁ et de même δ'q^k_o = δq_k_o – Δq_k_o = δq_k_o – q'_k_o δt_o. Par conséquent, utilisant ces relations, on trouve sous forme condensée^[5]

$\delta \mathcal{S} = \left[ \sum_k p_k \delta q_k - \mathcal{H} \delta t \right]_0ˆ1$

en définissant la fonction de Hamilton (ou le Hamiltonien)

$\mathcal{H} = \sum_k p_k \dot{q}_k - \mathcal{L} ( q_i, \dot{q}_i, t )$

La fonction de Hamilton joue un rôle essentiel dans les principes généraux de la mécanique.

Principe de Hamilton ou principe de moindre action de Lagrange

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813)

Seul un trajet dont la variation du lagrangien, au premier ordre, est nulle est parfois utilisé par un corps.

Article détaillé : principe de moindre action.

Si nous admettons que l'ensemble des trajectoires variées passent par les mêmes extrémités Q_o, Q₁ au même instant t_o, t₁ que la trajectoire réelle, la variation de l'intégrale d'action $\mathcal{S}$ s'annule :

$\delta \mathcal{S} = \int_{t_0}ˆ{t_1} \mathcal{L} dt = \int_{t_0}ˆ{t_1} \sum_k \left[ \dfrac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial q_k} - \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_k} \right) \right] \deltaˆ{'} q_k dt = 0$

d'après les équations de Lagrange. Inversement, si

$\delta \int_{t_0}ˆ{t_1} \mathcal{L} dt = 0$

il faut que les équations de Lagrange soient satisfaites, puisque les δ'q_k sont des quantités petites arbitraires. On peut toujours en conclure que les équations d'Euler du problème aux variations sont semblables aux équations de Lagrange. Par conséquent, le principe de Hamilton peut s'énoncer comme suit : Un dispositif se meut d'une configuration à une autre de telle façon que la première variation de l'action

$\int_{t_0}ˆ{t_1} \mathcal{L}( q_1, q_2, ..., q_f, \frac{dq_1}{dt}, \frac{dq_2}{dt}, ..., \frac{dq_f}{dt}, t) dt$

entre la trajectoire naturelle effectivement suivie et toute trajectoire virtuelle illimitément voisine ayant les mêmes extrémités dans l'espace et dans le temps soit nulle.

Ce principe possède une importance énorme qui dépasse l'équivalence formelle entre deux formulations mathématiques équivalentes du même problème. Ceci a d'ailleurs aussi son intérêt : par exemple, cette forme reste bien entendu vraie dans n'importe quel dispositif de coordonnées et , partant, on peut en déduire immédiatement l'invariance des équations de Lagrange pour toute transformation de coordonnées

$\dot{q}_i = \dot{q}_i (q_1, q_2, ..., q_f) \; \; \; \; avec \; \; i=1,2,..$

Mais en particulier, ce principe ouvre la voie à une description de dispositifs non-mécaniques par les méthodes mathématiques de la mécanique classique, comme dans la théorie des champs.

Principe de Maupertuis ou principe de moindre action

Pierre Louis de Maupertuis (1698–1759)

Le principe de moindre action de Maupertuis est la forme spécifique que prend le principe de Hamilton pour les dispositifs conservatifs à liaisons holonomes indépendantes du temps. Sous ces conditions, le potentiel s'écrit

$V = V ( q_k ) \; \; \; \; avec \; \; k=1,2, ..., f$

et l'énergie cinétique devient

$T = \frac{1}{2} \sum_{i,j} a_{i,j} ( q_k ) . \dfrac{dq_i}{dt} . \dfrac{dq_j}{dt} \; \; \; \; avec \; \; i,j,k=1, 2, ..., f$

Dans ce cas, l'intégrale d'énergie prend la forme

$\mathcal{E} = T + V = constante$

et on en tire

$\mathcal{L} = T - V = 2T - \mathcal{E}$

mais aussi

$\mathcal{H} = \sum_k p_k \dfrac{dq_k}{dt} - \mathcal{L} = \sum_k \left[ \dfrac{ \partial T}{\partial \dot{q}_k} \right] \dfrac{dq_k}{dt} - \mathcal{L} = 2T - \mathcal{L} = T + V = \mathcal{E}$

Principe de Gauss ou principe de moindre courbure

Carl Friedrich Gauss (1777–1855)

Comparaison entre mécanique rationnelle et optique géométrique

On peut consulter à ce sujet l'ressemblance entre l'optique et la mécanique.

Équations d'Hamilton

Soit $\mathcal{H}$ la fonction de Hamilton du dispositif, les équations canoniques de Hamilton s'écrivent alors :

$\dot{q}_i = \dfrac{ \partial \mathcal{H} }{\partial p_i}, \;\;\;\; \dot{p}_i = - \dfrac{ \partial \mathcal{H} }{ \partial q_i } , \;\;\;\; \dfrac{\partial \mathcal{L} }{ \partial t } = - \dfrac{ \partial \mathcal{H} }{ \partial t }$

Démonstration

Pour un dispositif à g degrés de liberté, la fonction de Hamilton $\mathcal{H}$ est une fonction des coordonnées généralisées q_i du dispositif, de ses moments généralisés p_i tel que $p_i = \dfrac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial \dot{q}_i}$ et du temps t :

$\mathcal{H} = \mathcal{H} ( q_i, p_i, t ) = \sum_kˆg p_k \dot{q}_k - \mathcal{L}$

$\mathcal{H}$ est la transformée de Legendre du lagrangien. Sa différentielle s'écrit :

$\begin{array}{ccl} d \mathcal{H} & = & \sum_{k=1}ˆg ( \dot{q}_k dp_k + p_k d\dot{q}_k ) - d\mathcal{L} \\ & = & \sum_{k=1}ˆg ( \dot{q}_k dp_k + p_k d\dot{q}_k - \dfrac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial q_k} dq_k - \dfrac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial \dot{q}_k} d\dot{q}_k - \dfrac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial t} dt \\ & = & \sum_{k=1}ˆg ( \dot{q}_k dp_k - \dfrac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial q_k} dq_k) - \dfrac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial t} dt \\ & = & \sum_{k=1}ˆg ( \dot{q}_k dp_k - \dot{p}_k dq_k) - \dfrac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial t} dt \\ & = & \sum_{k=1}ˆg ( \dfrac{ \partial \mathcal{H} }{ \partial p_k } dp_k + \dfrac{ \partial \mathcal{H} }{ \partial q_k } dq_k ) + \dfrac{ \partial \mathcal{H} }{ \partial t } dt \end{array}$

La dernière identiqueité sert à déduire les équations canoniques de Hamilton.

Équation d'Hamilton-Jacobi

L'équation d'Hamilton-Jacobi s'écrit :

$\dfrac{ \partial \mathcal{S} }{ \partial t} = - \mathcal{H} ( q, \frac{ \partial \mathcal{S}}{\partial q}, t )$

Théorème de Liouville

Article détaillé : Théorème de Liouville (Hamiltonien) .

Joseph Liouville (1809–1882)

Notes

↑ Ceci est une restriction importante : on peut supposer que le milieu traversé par la lumière est hétérogène, mais il doit être optiquement isotrope. Le cas d'un milieu optiquement anisotrope, par exemple un cristal dont la symétrie n'est pas celle du dispositif cubique, introduit une complication car il faut alors considérer un «rayon ordinaire» et un «rayon extraordinaire».
↑ avec $q i$ les coordonnées généralisées du dispositif (i = 1, ..., g), g étant le nombre de degrés de liberté du dispositif. On notera la dérivée comparé au temps de la coordonnée généralisée $q i$ : $\dot{q}_i = \dfrac{dq_i}{dt}$
↑ Puisque M et M'sont des positions simultanées (correspondant à δ't = 0), la variation δ'L de la fonction de Lagrange L est δ'L = L (M') – L (M) = ∑_k [ (∂L/∂q_k) δ'q_k + (∂L/∂q'_k) δ'q'_k) ].
D'autre part, comme δ'et d/dt sont deux opérateurs qui peuvent commuter, on a aussi δ'q'_k = δ' (dq_k/dt) = d (δ'q_k) /dt, si quoique le dernier terme dans δ'L peut toujours s'écrire (∂L/∂q'_k) δ'q_k = (∂L/∂q'_k) d (δ'q_k) /dt = d[ (∂L/∂q'_k) δ'q_k]/dt – δ'q_k d (∂L/∂q'_k) /dt.
En introduisant cette expression dans le dernier terme de (1), on trouve (2).
↑ L'expression générale des équations de Lagrange en présence d'un Lagrangien L = L (q_k, q'_k, t) est d (∂L/∂q'_k) /dt – ∂L/∂q_k = 0.
↑ Avec ces relations, (3) devient δS = L₁ δt₁ + Σ_k p_{k, 1} (δq_{k, 1} – q'_{k, 1} δt₁) – [L_oδt_o + Σ_k p_{k, o} (δq_{k, o}– q'_{k, o} δt_o) ] = (L₁ – Σ_k p_{k, 1} q'_{k, 1}) δt₁ + Σ_k p_{k, 1} δq_{k, 1} – (L_o – Σ_k p_{k, o} q'_{k, o}) δt_o – Σ_k p_{k, o} δq_{k, o} ou δS = – H₁ δt₁ + Σ_k p_{k, 1} δq_{k, 1} + H_o δt_o – Σ_k p_{k, o} δq_{k, o}.

Bibliographie

H. Goldstein (1980). Classical Mechanics (Second Edition), Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts. ISBN 0-201--02969-3.

Liens externes

Recherche sur Amazone (livres) :

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_variationnel.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 13/04/2009.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.