Impossibilité du clonage quantique

Le théorème d'impossibilité du clonage quantique a d'importantes conséquences en informatique quantique. A titre d'exemple, il fait en sorte qu'il est impossible d'adapter un code quantique directement du code de répétition de la théorie des codes classique.

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Le théorème d'impossibilité du clonage quantique a d'importantes conséquences en informatique quantique. A titre d'exemple, il fait en sorte qu'il est impossible d'adapter un code quantique directement du code de répétition de la théorie des codes classique. Ceci rend la tâche d'élaborer un code quantique complexe comparé aux codes classiques.

Dans ce cas dit classique, le «clonage» est trivialement réalisable. C'est d'ailleurs la façon dont l'information de cet article est transmis à son lecteur.

Enonce

Le théorème d'impossibilité du clonage quantique a été énoncé en 1982 par Wootters, Zurek et Dieks. Il a pour sens qu'il est impossible de faire des copies indentiques (des clones) d'états quantiques inconnus. Si les états sont connus, alors les copier est équivalent à copier des bits classiques, par conséquent faisable, par exemple avec la porte CNOT.

Donc, il est impossible de dupliquer des qubits pour suivre l'algorithme du code de répétition, un des codes les plus simples de la théorie classique correspondante.

Deux états quantiques peuvent être intriqués indentiquement par une porte CNOT, mais ceci n'est pas du clonage parce que les deux dispositifs apporteront le même résultat quand mesurés.

Demonstration

Soit un systeme quantique A dans l'etat $|a\rangle_A$ . Soit un second systeme quantique B de meme espace d'etats, on le prend originellement dans l'etat quelconque $|b\rangle_B$ . ces deux systemes quantiques forment un systeme total dont l'etat est donne par le produit tensoriel $|a\rangle_A|b\rangle_B$ .

On ne peut pas copier $|a\rangle_A$ en le mesurant directement, sous peine de reduire le systeme a l'un de ses etats propres et perdre une partie de l'information contenue dans l'etat d'origine qu'on veut copier.

On ne peut par conséquent qu'agir sur l'hamiltonien du systeme et par conséquent sur son operateur d'evolution U. On doit ainsi avoir :

$U |a\rangle_A |b\rangle_B = |a\rangle_A |a\rangle_B$

mais également pour tout autre etat $|\alpha\rangle_A$ quelconque de A :

$U |\alpha\rangle_A |b\rangle_B = |\alpha\rangle_A |\alpha\rangle_B$

On a par conséquent pout tout $|a\rangle_A$ et $|\alpha\rangle_A$ quelconques, l'operateur U etant unitaire (i. e $Uˆ{\dagger} U=I$ ) :

$\langle b|_B \langle a|_A Uˆ{\dagger} U |\alpha\rangle_A |b\rangle_B = \langle a|_B \langle a|_A |\alpha\rangle_A |\alpha\rangle_B$ i. e $\langle b|_B \langle a|_A|\alpha\rangle_A |b\rangle_B = \langle a|_B \langle a|_A |\alpha\rangle_A |\alpha\rangle_B$

soit

$\langle a | \alpha \rangle = \langle a | \alpha \rangle ˆ2.$

ce qui n'est envisageable que si ces deux etats sont orthogonaux ou egaux. On entre en contradiction avec l'hypothese de depart que ces etats sont quelconques, on a montre par l'absurde l'impossibilite de cloner l'etat $|a\rangle_A$ .

Impossibilité du code de répétition quantique, sans le théorème

Même si le théorème d'impossibilité du clonage quantique n'avait pas lieu, un code de répétition quantique serait impossible à décoder. Supposons qu'il soit envisageable d'avoir des copies d'un qubit. Le décodage d'un code de répétition se fait par vote majoritaire. Donc, il est indispensable de comparer les qubits transmis pour décoder. Pour ce faire, on effectuerait la délicate opération de la mesure quantique : la première mesure détruirait l'information contenue dans les autres copies.

References

W. K. Wootters and W. H. Zurek, A Single Quantum Cannot be Cloned, Nature 299 (1982), pp. 802-803.

En rapport avec la cryptographie quantique :

Nicolas Gisin, Grégoire Ribordy, Wolfgang Tittel, and Hugo Zbinden, Quantum cryptography, Rev. Mod. Phys. 74, 145 - 195 (2002), (http ://prola. aps. org/abstract/RMP/v74/i1/p145_1)

Voir aussi

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