Loi de Planck

La loi de Planck définit la distribution de luminance énergétique monochromatique du rayonnement thermique du corps noir selon la température thermodynamique.

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La loi de Planck définit la distribution de luminance énergétique monochromatique du rayonnement thermique du corps noir selon la température thermodynamique.

La luminance^[1] énergétique monochromatique est un flux énergétique par unité de surface, par unité d'angle solide et par unité de longueur d'onde ; elle s'exprime en W m^-2. m^-1. sr^-1 en unités SI :

$L_\lambda = \frac{2h{c_\lambda}ˆ2}{\lambdaˆ5}\frac{1}{\exp \left(\frac{h{c_\lambda}}{k\lambda T}\right)-1}$

$c λ$ $= c / n λ$ est la vitesse du rayonnement électromagnétique dans le milieu où se propage le rayonnement, avec :

$n λ$ indice de réfraction du milieu pour la longueur d'onde λ
c = 299 792 458 m/s (vitesse de la lumière dans le vide)
h = 6, 626 17×10^-34 J. s (constante de Planck)
k = 1, 380 66×10^-23 J/K (constante de Boltzmann)
T est la température de la surface du corps noir en kelvin

Introduction

Un filament d'ampoule à incandescence émet dans le rouge à à peu près 700°C, et blanc ou alors bleu pour des températures supérieures.

La loi de Planck décrit la répartition de l'énergie électromagnétique (ou la répartition de la densité de photons) rayonnée par un corps noir à une température donnée, selon la longueur d'onde. La loi de Planck est présentée sous différentes variantes, qui emploient des grandeurs telle que l'intensité, la densité de flux ou bien la répartition spectrale. Toutes ces formes des différentes grandeurs de rayonnement sont des formes différentes de la loi de Plank.

A la fin du 19è siècle, les physiciens essayaient de comprendre le spectre du rayonnement des corps noirs en se fondant sur la physique classique, la physique statistique et l'électrodynamique classique. Des hypothèses contradictoires (loi de Wien, loi de Rayleigh-Jeans) et une concordance uniquement partielle avec les résultats expérimentaux conduisirent à une situation non satisfaisante. C'est Max Planck qui, à la fin du siècle, réussit à trouver une loi de rayonnement totalement en accord avec les mesures expérimentales. Outre l'importance pratique du corps noir, la découverte de la loi de Planck en 1900 signe l'apparition de la mécanique quantique : pour expliquer sa loi trouvée de manière empirique, Planck a du supposer que la lumière (et par conséquent le rayonnement électromagnétique généralement) n'était pas absorbée et émise de manière continue, mais seulement de manière discrète, par l'intermédiaire de quanta (on parle actuellement de photons).

D'après la loi du rayonnement de Kirchhoff, la capacité d'absorption et la capacité d'émission de rayonnement thermique d'un corps sont proportionnels pour l'ensemble des longueurs d'ondes. Un corps noir est un corps hypothétique qui absorbe tout le rayonnement qu'il reçoit, quelle que soit la longueur d'onde. Comme sa capacité d'absorption prend la plus grande valeur envisageable quelle que soit la longueur d'onde, sa capacité d'émission prend aussi la plus grande valeur envisageable. Un corps réel ne peut pas émettre plus de rayonnement thermique qu'un corps noir, car ce dernier représente une source de rayonnement thermique parfaite. Comme son spectre ne dépend d'aucun autre paramètre que de la température (en particulier, il ne dépend pas des propriétés du matériau), le corps noir est une source de référence utilisée dans de nombreux cas.

La loi de rayonnement de Planck

Comme la loi de Planck est valable dans de nombreux contextes différents, elle s'exprime sous différentes formes, toutes dérivées les unes des autres. Pour comprendre ces différentes formes de la loi de Planck, nous allons en premier lieu énoncer les grandeurs qui apparaissent dans les différentes formules.

Comme il est habituel pour les grandeurs radiométriques, différentes grandeurs de rayonnement peuvent être utilisées pour décrire le spectre du rayonnement d'un corps noir. Les appellations et symboles utilisés ici suivent la norme ISO 9288 (Août 1996). L'indice haut $\,ˆo$ indique que la grandeur en question décrit particulièrement les propriétés d'un corps noir. Les formules suivantes sont valables pour le rayonnement dans le vide. Pour le rayonnement dans un milieu d'indice de réfraction n, il faut remplacer les célérités dans le vide c par c/n et les longueurs d'onde λ par λ/n, sans modifier la fréquence ν.

On différencie

les grandeurs spectrales, qui décrivent la dépendance à la fréquence (ou à la longueur d'onde) de manière explicite,
les grandeurs totales, intégrées sur la totalité des fréquences (ou des longueurs d'onde)

mais aussi

les grandeurs directionnelles, qui décrivent la dépendance à la direction de manière explicite,
les grandeurs hémisphériques, intégrées sur l'ensemble des directions du demi-espace.

Luminance energétique monochromatique

La luminance énergétique monochromatique $Lˆo_{\Omega\nu}$ d'un corps noir à la température absolue T vaut

Selon la fréquence :

$Lˆo_{\Omega\nu}(\nu, T) \, \cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}\Omega = \frac{2 h\nuˆ{3}}{cˆ2} \frac{1}{eˆ{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}\cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}\Omega$

Unité SI de $Lˆo_{\Omega\nu}(\nu, T)$ : W m^-2 Hz^-1 sr^-1,

Selon la longueur d'onde :

$Lˆo_{\Omega\lambda}(\lambda, T) \, \cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\lambda \, \mathrm{d}\Omega = \frac{2 h cˆ2}{\lambdaˆ5} \frac{1}{eˆ{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1}\cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\lambda \, \mathrm{d}\Omega$

Unité SI de $Lˆo_{\Omega\lambda}(\lambda, T)$ : W m^-2 µm^-1 sr^-1.

$Lˆo_{\Omega\lambda}(\lambda, T)$ est la puissance rayonnée par un élément de surface dA dans le domaine de fréquences entre ν et ν+dν, dans l'élement d'angle solide dΩ délimité par les angles azimutaux φ et φ+dφ mais aussi les angles d'ascension polaires β et β+dβ. h est la constante de Planck, c est la célérité de la lumière dans le vide et k est le constante de Bolztmann. Le facteur cos (β) prend en compte le fait que, pour le rayonnement dans une direction indiquée par φ et β, seule la projection orthogonale à cette direction cos (β) dA de la surface dA est prise en compte comme surface rayonnante effective.

La luminance énergétique monochromatique $Lˆo_{\Omega\lambda}(\lambda, T)$ doit être indépendante de la direction pour des raisons thermodynamiques^[2].

Le corps noir rayonne de manière complètement diffuse, et suit le modèle du rayonnement de Lambert.

Lors du passage entre représentation fréquentielle et représentation en longueur d'onde, comme $\lambda = \frac{c}{\nu}$ , on a les relations :

$|\mathrm{d}\lambda| = \frac{c}{\nuˆ2} |\mathrm{d}\nu|$ et $|\mathrm{d}\nu| = \frac{c}{\lambdaˆ2} |\mathrm{d}\lambda|$

La luminance énergétique monochromatique est , comme son nom l'indique, une grandeur spectrale.

Exitance energétique monochromatique

En intégrant la luminance énergétique monochromatique suivant l'ensemble des directions du demi-espace dans lequel rayonne l'élément de surface étudié, on obtient l'exitance^[3] energétique monochromatique $Mˆo_\nu(\nu, T)$ . Il vient :

$Mˆo_\nu(\nu, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu$	$= \int_{demi-espace} Lˆo_{\Omega\nu}(\nu, T) \cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}\Omega$
	$= \int_{\phi=0}ˆ{2\pi} \, \int_{\beta=0}ˆ{\frac{\pi}{2}} Lˆo_{\Omega\nu}(\nu, T) \cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \, \sin(\beta) \, \mathrm{d}\phi \, \mathrm{d}\beta$
	$= 2\pi \, Lˆo_{\Omega\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \int_{\beta=0}ˆ{\frac{\pi}{2}} \cos(\beta) \sin(\beta) \mathrm{d}\beta$
	$= \pi \, Lˆo_{\Omega\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu$ ,

soit :

Selon la fréquence

$Mˆo_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \, = \frac{2\pi h\nuˆ{3}}{cˆ2} \frac{1}{eˆ{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu$

Unité SI de $Mˆo_{\nu}(\nu, T)$ : W m^-2 Hz^-1

Selon la longueur d'onde

$Mˆo_{\lambda}(\lambda, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\lambda \, = \frac{2\pi h cˆ2}{\lambdaˆ5} \frac{1}{eˆ{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1}\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\lambda$

Unité SI de $Mˆo_{\lambda}(\lambda, T)$ : W m^-2 μm^-1.

$Mˆo_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu$ est la puissance rayonnée par l'élément de surface dA dans le domaine de fréquences entre ν et ν+dν dans le demi-espace. L'exitance énergétique monochromatique est une grandeur spectrale hémisphérique.

Luminance énergétique

En intégrant la luminance énergétique monochromatique non pas sur les directions mais sur les fréquences, on obtient la luminance énergétique (totale) $Lˆo_{\Omega}(T)$ , telle que :

$Lˆo_{\Omega}(T) \cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\Omega = \int_{\nu=0}ˆ{\infty} Lˆo_{\Omega\nu}(\nu, T) \cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}\Omega$

Comme $\int_{0}ˆ{\infty} \frac{xˆ3}{eˆ{x}-1} \, \mathrm{d}x = \frac{\piˆ4}{15}$ , le calcul de l'intégrale donne :

$Lˆo_{\Omega}(T) \cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\Omega = \frac{2 \piˆ4 kˆ4}{15 hˆ3 cˆ2} Tˆ4 \cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\Omega$

Unité SI de $Lˆo_{\Omega}(T)$ : W m^-2 sr^-1.

$Lˆo_{\Omega}(T) \cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\Omega$ est la puissance rayonnée par l'élément de surface dA sur l'ensemble des fréquences dans l'angle solide dans la direction donnée par β.

La luminance énergétique est une grandeur totale directionnelle.

Exitance énergétique, densité de flux radiatif, loi de Stefan-Boltzmann

(voir l'article Loi de Stefan-Boltzmann)

En intégrant l'exitance énergétique monochromatique sur l'ensemble des fréquences ou bien la luminance énergétique sur l'ensemble des directions du demi-espace, on obtient l'exitance énergétique (ou densité de flux radiatif) $M o (T)$ , telle que :

$Mˆo(T) \, \mathrm{d}A$	$= \int_{\nu=0}ˆ{\infty} Mˆo_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu$	$= Lˆo_{\Omega}(T) \int_{demi-espace} \cos(\beta)\mathrm{d}A \, \mathrm{d}\Omega$
		$= Lˆo_{\Omega}(T) \cdot \pi$

soit

$Mˆo(T) \, \mathrm{d}A = \sigma \, Tˆ4 \, \mathrm{d}A$

Unité SI de $M o (T)$ : W m^-2,

avec la constante de Stefan-Boltzmann $\sigma \, = \frac{2 \pi ˆ5 kˆ4}{15 hˆ3 cˆ2} \, = (5{,}670 400 \pm 0{,}000 040) \, \cdot \, 10ˆ{-8} \, \mathrm{\frac{W}{mˆ2 Kˆ4}}$ (CODATA^[4] 2000).

Pour le rayonnement dans un milieu d'indice de réfraction n, la célérité de la lumière c doit être remplacée par c/n. L'exitance energétique augmente par conséquent d'un facteur n².

$Mˆo(T) \, \mathrm{d}A$ est la puissance rayonnée par l'élément de surface dA sur l'ensemble des fréquences dans le demi-espace.

L'exitance énergétique est une grandeur totale hémisphérique.

Flux radiatif

En intégrant l'exitance énergétique (densité de flux radiatif), sur la totalité de la surface rayonnante A, on obtient le flux radiatif (ou puissance rayonnée) de cette surface $Φ o (T)$ , pour laquelle :

$\Phiˆo(T) = \int_{\rm Surface} Mˆo(T) \, \mathrm{d}A$ ,

soit

$\Phiˆo(T) = \sigma \, Tˆ4 \, A$

Unité SI de $Φ o (T)$ : W.

$Φ o (T)$ est la puissance rayonnée par la totalité de la surface A sur l'ensemble des fréquences et dans le demi-espace tout entier.

Densité spectrale d'énergie du rayonnement d'une cavité à rayonnement isotrope

Considérons une cavité fermée, dont les parois sont composées d'un matériau quelconque, et tenu à la température T. A l'équilibre thermique, la cavité est emplie d'un rayonnement thermique isotrope, dont les caractéristiques ne dépendent que de la température T, et qui a par conséquent un caractère universel.

En insérant un corps noir dans cette cavité, le rayonnement de la cavité doit redevenir semblable après avoir atteint l'équilibre thermique, puisque le rayonnement ne dépend que de la température T. Comme le corps noir absorbe une certaine quantité de rayonnement et doit en réémettre la même quantité au même moment pour garantir l'équilibre, les luminances énergétiques spectrales de la cavité et le rayonnement du corps noir doivent être semblables. Les expression des grandeurs obtenues ci-dessus sont par conséquent aussi valables pour le rayonnement de la cavité, et ce dernier a une énergie volumique de rayonnement constante, comme nous allons le voir.

Considérons une calotte sphérique emplie d'un rayonnement de corps creux dû à la température T. Comme les grandeurs de rayonnement sont les mêmes que pour le rayonnement du corps noir, la puissance incidente sur un élément de surface dA au centre du disque sur lequel repose la calotte, provenant de la totalité de la calotte sphérique, et dans le domaine de fréquences de ν à ν+dν, est donnée par la formule de l'exitance énergétique spectrale :

$W_{\nu}(\nu, T)\, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu = Mˆo_\nu(\nu, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \quad (*)$

Soit $Uˆo_{\nu} \, \mathrm{d}\nu$ la densité d'énergie dans l'intervalle de fréquences de ν à ν+dν, et $n_{\nu} \, \mathrm{d}\nu$ la densité de photons dans le même intervalle de fréquences :

$Uˆo_{\nu} \, \mathrm{d}\nu = h \nu \cdot n_{\nu} \, \mathrm{d}\nu$

Comme le rayonnement est isotrope, la quantité de photons provenant de l'angle solide dΩ (donc de directions entre φ et φ+dφ et entre β et β+dβ) est donnée par le rapport de dΩ à l'angle solide de l'espace tout entier 4π. La densité de photons de fréquence entre ν et ν+dν provenant de l'angle solide dΩ est donc :

$n_{\nu \Omega} \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}\Omega = n_{\nu} \, \mathrm{d}\nu \frac{\mathrm{d}\Omega}{4\pi} = n_{\nu} \, \mathrm{d}\nu \frac{\sin(\beta) \mathrm{d}\beta \mathrm{d}\phi}{4\pi}$

Parmi l'ensemble des photons de l'intervalle dν provenant de la direction dΩ, certains atteignent une surface dA se trouvant dans un cylindre penché β d'un angle dans la direction de dΩ et de surface de base dA. Par unité de temps dt, les photons qui traversent dA sont ceux qui se trouvent dans le cylindre de longueur cdt. Ils traversent par conséquent dA avec un taux :

$n_{\nu \Omega} \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}\Omega \cdot \cos(\beta)\mathrm{d}A \cdot c$

Comme chaque photon a une énergié hν, l'énergie traversant dA par unité de temps vaut :

$W_{\nu \Omega}(\nu, \beta, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}\Omega = h \nu \cdot n_{\nu \Omega} \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}\Omega \cdot \cos(\beta)\mathrm{d}A \cdot c = h \nu \cdot c \cdot n_{\nu} \, \mathrm{d}\nu \frac{1}{4\pi} \sin(\beta) \cos(\beta) \mathrm{d}\beta \, \mathrm{d}\phi \, \mathrm{d}A$

Des photons provenant de la totalité de la calotte sphérique traversent dA. L'intégration sur la totalité du demi-espace donne :

	$W_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu$	$= h \nu \cdot c \cdot n_{\nu} \, \mathrm{d}\nu \frac{1}{4\pi} \int_{\phi=0}ˆ{2\pi} \int_{\beta=0}ˆ{\frac{\pi}{2}} \sin(\beta) \cos(\beta) \mathrm{d}\beta \, \mathrm{d}\phi \, \mathrm{d}A$
		$= h \nu \cdot c \cdot n_{\nu} \, \mathrm{d}\nu \frac{1}{4} \, \mathrm{d}A$
		$= Uˆo_{\nu} \, \frac{c}{4} \, \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\nu$

La comparaison avec $(*)$ fait apparaître la relation :

$Uˆo_{\nu}(\nu, T) = \frac{4}{c} \cdot Mˆo_\nu(\nu, T)$

On a donc :

Selon la fréquence :

$Uˆo_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}V = \frac{8 \pi h \nuˆ{3}}{cˆ3} \frac{1}{eˆ{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1} \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}V$

Unité SI de $Uˆo_{\nu}(\nu, T)$ : J m^-3 s ou bien J m^-3 Hz^-1,

Selon la longueur d'onde :

$Uˆo_{\lambda}(\lambda, T) \, \mathrm{d}\lambda \, \mathrm{d}V = \frac{8 \pi h c}{\lambdaˆ5} \frac{1}{eˆ{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1} \, \mathrm{d}\lambda \, \mathrm{d}V$

Unité SI de $Uˆo_{\lambda}(\lambda, T)$ : J m^-2 ou bien J m^-3 μm^-1.

$Uˆo_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}V$ est l'énergie du rayonnement thermique dans le domaine de fréquence de ν à ν+dν qui se trouve dans le volume élémentaire dV de la cavité rayonnante.

Densité totale d'énergie du rayonnement d'une cavité à rayonnement isotrope

En intégrant la densité spectrale d'énergie du rayonnement d'une cavité rayonnante sur l'ensemble des fréquences, on obtient la densité totale d'énergie du rayonnement de la cavité à rayonnement isotrope $U o$ :

$Uˆo(T) \, \mathrm{d}V = \int_{\nu=0}ˆ{\infty}Uˆo_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}\nu \, \mathrm{d}V$

Le calcul de l'intégrale donne :

$Uˆo(T) \, \mathrm{d}V \, = \sigmaˆ* \, Tˆ4 \, \mathrm{d}V$

avec $\sigmaˆ* \, = \frac{8 \pi ˆ5 kˆ4}{15 hˆ3 cˆ3} \, = 7,56 \, \cdot \, 10ˆ{-16} \, \mathrm{\frac{W s}{mˆ3 Kˆ4}}$ , Unité SI de

U o (T)

: J m^-3.

$Uˆo(T) \, \mathrm{d}V$ est l'énergie du rayonnement thermique de l'ensemble des fréquences se trouvant dans le volume dV de la cavité.

Formulaire

	Luminance énergétique spectrale :
	$Lˆo_{\Omega\nu}(\nu, T) \, = \frac{2 h\nuˆ{3}}{cˆ2} \frac{1}{eˆ{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}$		$Lˆo_{\Omega\lambda}(\lambda, T) \, = \frac{2 h cˆ2}{\lambdaˆ5} \frac{1}{eˆ{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1}$
	Unité : W m^-2 Hz^-1 sr^-1		Unité : W m^-2 μm^-1 sr^-1

	Émittance énergétique spectrale :
	$Mˆo_{\nu}(\nu, T) \, = \frac{2 \pi h\nuˆ{3}}{cˆ2} \frac{1}{eˆ{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}$		$Mˆo_{\lambda}(\lambda, T) \, = \frac{2 \pi h cˆ2}{\lambdaˆ5} \frac{1}{eˆ{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1}$
	Unité : W m^-2 Hz^-1		Unité : W m^-2 μm^-1

	Luminance énergétique :
	$Lˆo_{\Omega}(T) = \frac{2 \piˆ4 kˆ4}{15 hˆ3 cˆ2} Tˆ4$
	Unité : W m^-2 sr^-1

	Émittance énergétique (loi de Stefan-Boltzmann) :
	$Mˆo(T) \, = \sigma \, Tˆ4$ avec constante de Stefan-Boltzmann $\sigma \, = \frac{2 \pi ˆ5 kˆ4}{15 hˆ3 cˆ2} \, = 5{,}67 \, \cdot \, 10ˆ{-8} \, \mathrm{\frac{W}{mˆ2 Kˆ4}}$
	Unité : W m^-2

	Densité spectrale d'énergie d'une cavité à rayonnement isotrope :
	$Uˆo_{\nu}(\nu, T) \, = \frac{8 \pi h \nuˆ{3}}{cˆ3} \frac{1}{eˆ{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}$		$Uˆo_{\lambda}(\lambda, T) \, = \frac{8 \pi h c}{\lambdaˆ5} \frac{1}{eˆ{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1}$
	Unité : J m^-3 Hz^-1		Unité : J m^-3 μm^-1

	Densité totale d'énergie d'une cavité à rayonnement isotrope :
	$Uˆo(T) \, = \sigmaˆ* \, Tˆ4$ avec $\sigmaˆ* \, = \frac{8 \pi ˆ5 kˆ4}{15 hˆ3 cˆ3} \, = 7{,}56 \, \cdot \, 10ˆ{-16} \, \mathrm{\frac{J}{mˆ3 Kˆ4}}$
	Unité : J m^-3

On considère généralement le nombre de photons émis par unité de temps, plutôt que l'énergie rayonnée. Comme un photon de fréquence $ν$ (ou de longueur d'onde $\lambda = \frac{c}{\nu}$ ) a une énergie $h ν$ (ou $\frac{hc}{\lambda}$ ) on a :

	Luminance énergétique spectrale :
	$\tilde Lˆo_{\Omega\nu}(\nu, T) \, = \frac{2 \nuˆ{2}}{cˆ2} \frac{1}{eˆ{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}$		$\tilde Lˆo_{\Omega\lambda}(\lambda, T) \, = \frac{2 c}{\lambdaˆ4} \frac{1}{eˆ{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1}$
	Unité : Photons s^-1 m^-2 Hz^-1 sr^-1		Unité : Photons s^-1 m^-2 μm^-1 sr^-1

	Émittance energétique spectrale :
	$\tilde Mˆo_{\nu}(\nu, T) \, = \frac{2 \pi \nuˆ{2}}{cˆ2} \frac{1}{eˆ{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}$		$\tilde Mˆo_{\lambda}(\lambda, T) \, = \frac{2 \pi c}{\lambdaˆ4} \frac{1}{eˆ{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1}$
	Unité : Photons s^-1 m^-2 Hz^-1		Unité : Photons s^-1 m^-2 μm^-1

	Luminance énergétique :
	$\tilde Lˆo_{\Omega}(T) = \frac{4 \zeta(3) kˆ3}{hˆ3 cˆ2}\, Tˆ3 = 4{,}840 \cdot 10ˆ{14} \mathrm{\frac{1}{s \, mˆ2 \, sr \, Kˆ3}} \, \cdot \, Tˆ3$
	avec $ζ (3) = 1, 202056903...$ (constante d'Apéry où $ζ$ sert à désigner la fonction zêta de Riemann)
	Unité : Photons s^-1 m^-2 sr^-1

	Excitance énergétique (loi de Stefan-Boltzmann pour le taux de photons) :
	$\tilde Mˆo(T) \, = \frac{4 \pi \zeta(3) kˆ3}{hˆ3 cˆ2}\, Tˆ3 = 1{,}5204 \cdot 10ˆ{15} \mathrm{\frac{1}{s \, mˆ2 \, Kˆ3}} \, \cdot \, Tˆ3$
	Unité : Photons s^-1 m^-2

	Densité spectrale de photons d'une cavité à rayonnement isotrope :
	$\tilde Uˆo_{\nu}(\nu, T) \, = \frac{8 \pi \nuˆ{2}}{cˆ3} \frac{1}{eˆ{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}$		$\tilde Uˆo_{\lambda}(\lambda, T) \, = \frac{8 \pi}{\lambdaˆ4} \frac{1}{eˆ{\left(\frac{hc}{\lambda kT}\right)}-1}$
	Unité : Photons m^-3 Hz^-1		Unité : Photons m^-3 μm^-1

	Densité totale de photons d'une cavité à rayonnement isotrope :
	$\tilde Uˆo(T) \, = \frac{16 \pi \zeta(3) kˆ3}{hˆ3 cˆ3}\, Tˆ3 = 2{,}029 \cdot 10ˆ{7} \, \mathrm{\frac{1}{mˆ3 Kˆ3}} \, \cdot \, Tˆ3$
	Unité : Photons m^-3

Conséquences

La loi de Planck a unifié et confirmé des lois qui avaient été trouvées auparavant suites à des expériences ou des considérations thermodynamiques :

la loi de Stefan-Boltzmann, qui donne l'énergie totale rayonnée par un corps noir, proportionnelle à T⁴,
la loi du rayonnement de Rayleigh-Jeans, qui décrit la distribution spectrale d'énergie pour les grandes longueurs d'ondes,
la loi du rayonnement de Wien, qui décrit la distribution spectrale d'énergie pour les petites longueurs d'ondes,
la loi du déplacement, que Wien (1864-1928) formula en 1893, qui établit le rapport entre le maximum d'émission d'un corps noir et sa température.

Lois de rayonnement et hypothèse quantique

Considérons un exemple simplifié une cavité cubique de côté L et de volume V, renfermant le rayonnement électromagnétique de la cavité à rayonnement isotrope en équilibre thermique. A l'équilibre ne peuvent apparaître que des ondes stationnaires. Ces ondes peuvent être dirigées suivant n'importe quelle direction, mais doivent satisfaire à une même condition : un nombre entier de demies-longueurs d'onde doit passer entre deux surfaces parallèles de la cavité. Il ne peut par conséquent y avoir que certains états vibratoires discrets. Le rayonnement total au sein de la cavité provient de ces différentes ondes stationnaires. Il y a $\frac{8 \pi V}{cˆ3} \nuˆ2 \mathrm{d}\nu$ états vibratoires envisageables dans l'intervalle de fréquences entre ν et ν+dν. (le nombre d'états vibratoires envisageables augmente avec la fréquences). La densité d'états, c'est-à-dire le nombre d'états vibratoire envisageables dans l'intervalle de fréquences entre ν et ν+dν et par unité de volume, vaut :

$g(\nu) \, \mathrm{d}\nu \, = \, \frac{8 \pi}{cˆ3} \, \nuˆ2 \, \mathrm{d}\nu$ .

En considérant ces états vibratoires comme des oscillateurs harmoniques de fréquence ν, on devrait s'attendre selon le théorème d'équipartition de l'énergie à ce que, à l'équilibre thermique du milieu à la température T, chaque oscillateur porte l'énergie cinétique kT/2 et l'énergie potentielle kT/2, soit une énergie totale de kT. La densité d'énergie dans la cavité dans l'intervalle de fréquence entre ν et ν+dν serait alors :

$U_{\nu}ˆ{RJ}(\nu, T) \, \mathrm{d}\nu \, = \, \frac{8 \pi}{cˆ3} \, kT \, \nuˆ2 \, \mathrm{d}\nu$ .

Ceci est la loi de rayonnement de Rayleigh-Jeans. Elle rend bien compte de la densité d'énergie mesurée pour les faibles fréquences, mais prévoit faussement avec l'augmentation de la fréquence une augmentation quadratique de la densité d'énergie (catastrophe ultraviolette), qui conduirait à ce que la cavité contienne une densité d'énergie illimitée : chaque état vibratoire ne porte que l'énergie kT, mais une illimitété de tels états vibratoires sont excités.

Les physiciens étaient conscients de cette conséquence et cherchèrent une formule différente pour résoudre le problème de la catastrophe ultraviolette. Wien établit sa loi du rayonnement en 1896, mais elle ne parvint pas à décrire les faibles fréquences. Planck l'perfectionna en 1900 en commençant par introduire un simple "-1" dans la loi du rayonnement de Wien. Cette formule n'était qu'empirique, mais elle correspondait bien aux mesures expérimentales sur la totalité du spectre de fréquences. Mais Planck n'en était pas satisfait. Il réussit à remplacer la constante C et c de la loi de Wien par des constantes naturelles; seul restait un facteur "h". C'était l'heure de naissance de la physique quantique : Planck devait concéder, contre ses propres convictions, que les transferts d'énergie ne se faisaient pas continûment mais de manière discrète, par des multiples d'unités de "h" (h comme Hilfskonstante : constante d'aide), nommé plus tard quantum d'action de Planck en son honneur.

D'après cette hypothèse quantique introduite par Planck, un oscillateur de fréquence ν ne peut prendre que des états d'énergie discrets multiples de hν, et ne peut être excité qu'à partir d'une énergie minimum hν. Les états vibratoires dont l'énergie minimale hν est nettement supérieure à l'énergie thermique kT disponible ne peuvent pas être excités et sont par conséquent gelés. Les états vibratoires dont l'énergie minimale hν est particulièrement un peu supérieure à kT peuvent être excités avec une certaine probabilité, et une fraction de ces états participent par conséquent au rayonnement total de la cavité. Les états vibratoires d'énergie minimale hν inférieure à kT, par conséquent de fréquences inférieures, sont sans doute excités.

La physique statistique montre que dans ces conditions, un état vibratoire porte en moyenne l'énergie $\frac{h\nu}{eˆ{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1}$ . En multipliant cette énergie par la densité d'états vibratoires envisageables $g(\nu) \, \mathrm{d}\nu$ , on obtient la densité d'énergie de Planck :

$Uˆo_{\nu}(\nu, T) \, \mathrm{d}\nu \, = \, \frac{8 \pi h \nuˆ{3}}{cˆ3} \frac{1}{eˆ{\left(\frac{h\nu}{kT}\right)}-1} \, \mathrm{d}\nu$ .

La catastrophe ultraviolette est par conséquent évitée, car les états vibratoires de haute fréquence qui pourraient exister selon des considérations géométriques ne peuvent pas être excités à cause de leur énergie d'excitation minimale hν trop importante, et ne participent par conséquent pas à la densité d'énergie dans la cavité. La densité spectrale d'énergie diminue par conséquent avec les plus hautes fréquence après être passée par un maximum, et la densité totale d'énergie reste finie.

Émission

Spectres de rayonnement de Planck pour différentes températures

La première image ci-contre présente les spectres du rayonnement de Planck pour différentes températures entre 300 K et 1000 K. On reconnaît la forme typique de courbe en cloche avec un maximum clairement visible, une pente forte pour les faibles longueurs d'onde et une pente descendant plus doucement vers les grandes longueurs d'onde. Le maximum de rayonnement se décale vers les faibles longueurs d'onde avec la température croissante, comme le décrit la loi de déplacement de Wien. En outre comme le décrit la loi de Stefan-Boltzmann, l'exitance énergétique (correspondant à la surface sous la courbe de chaque exitance énergétique spectrale) augmente avec le puissance quatrième de la température. Une telle augmentation fait qu'il est complexe de présenter un tel graphe sur une plage de températures importante.

Spectres de rayonnements de Planck pour différentes températures, en représentation log-log

Pour pallier ce problème, le second graphe utilise une représentation logarithmique pour les deux axes. Sont présentés ici les spectres de rayonnement de Planck pour des températures de 100 K à 10 000 K.

La courbe rouge correspond à 300 K, ce qui correspond à la température ambiante. Le maximum pour cette courbe est atteint pour une longueur d'onde de 10 µm. C'est par conséquent autour de cette longueur d'onde (infrarouges lointains) que se font les échanges d'énergie par rayonnement des objets à température ambiante. Les thermomètres infrarouges ou les caméras thermographiques fonctionnent dans ces longueurs d'ondes-ci.

La courbe pour 3000 K correspond au rayonnement typique d'une lampe à incandescence. Une partie du rayonnement est émis dans le domaine visible. Cependant le maximum d'émission se situe toujours dans l'infrarouge proche.

La courbe jaune correspond à 5777 K, la température effective du soleil. Le maximum d'émission est au milieu du domaine visible. Heureusement, la majorité du rayonnement thermique ultraviolet du soleil est absorbé par la couche d'ozone de l'atmosphère terrestre.

Réception

Comme on le voit sur le graphe précédent, l'exitance énergétique spectrale du soleil pour l'ensemble des longueurs d'ondes est énormément plus important que l'exitance des objets terrestres à 300 K. Pour une longueur d'onde de 10µm, un mètre carré de surface de soleil émet 400 fois plus qu'un mètre carré de façade de maison. Cependant cela ne veut pas dire que le rayonnement thermique environnant provient en majorité du soleil. Pour obtenir l'intensité de rayonnement rapportée à un mètre carré de surface réceptrice, Il faut multiplier la luminance spectrale par l'angle solide Ω visible depuis cette surface. Pour un observateur terrestre, le soleil ne représente qu'une particulièrement petite source (Ω = 6, 8·10^-5 sr). En comparaison avec un objet terrestre à 300 K remplissant le champ de vision de l'observateur à moitié (Ω = 3, 14 sr), l'intensité de rayonnement du soleil à λ=10µm est plus faible d'un facteur 400· (6, 8·10^-5/3, 14) ≈ 1/100, par conséquent quasiment négligeable. A ceci s'ajoute l'absorption d'une partie du rayonnement thermique du soleil par l'atmosphère, et une diminution supplémentaire due au fait que la surface réceptrice n'est pas ne reçoit pas le rayonnement orthogonalement.

Notes

↑ L'expression de la loi de Planck selon la longueur d'onde correspond à l'usage courant qui en est fait en thermique industrielle, les échanges radiatifs s'effectuant le plus souvent entre surfaces scindées par de l'air dont l'indice de réfraction est proche de 1 ; compte-tenu de la relation λν = c, cette loi peut aussi s'exprimer selon la fréquence ν.
↑ Justification : lorsque un corps noir est soumis au rayonnement à l'intérieur d'une cavité à rayonnement isotrope de même température, il absorbe entièrement le rayonnement incident, mais doit remplacer le rayonnement absorbé par un rayonnement émis par lui-même pour conserver l'équilibre thermique. La luminance énergétique spectrale du rayonnement de la cavité doit être indépendante de la direction à l'équilibre, et comme le rayonnement émis par le corps noir a la même luminance, elle est aussi indépendante de la direction.
↑ La Commission mondiale de l'éclairage recommande l'appellation exitance au lieu d'émittance énergétique.
↑ CODATA Value : Stefan-Boltzmann constant

Références

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu d'une traduction de l'article de Wikipédia en allemand intitulé «Plancksches Strahlungsgesetz».

Voir aussi

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