Théorie BCS

La théorie BCS est une théorie complète de la supraconductivité qui fut proposée en 1957 par John Bardeen, Leon Neil Cooper, et John Robert Schrieffer.

Catégories :

Physique de la matière condensée - Physique quantique

Source image : www.futura-sciences.com
Cette image est un résultat de recherche de Google Image. Elle est peut-être réduite par rapport à l'originale et/ou protégée par des droits d'auteur.

Page(s) en rapport avec ce sujet :

Bien pire, la théorie de la supraconductivité, élaborée en 1957 par John Bardeen, .... Or, dans ces matériaux complexes, les interactions entre électrons ne... (source : books.google)

La théorie BCS est une théorie complète de la supraconductivité qui fut proposée en 1957 par John Bardeen, Leon Neil Cooper, et John Robert Schrieffer. Elle explique la supraconductivité par la formation de paires d'électrons (paires de Cooper) sous l'effet d'une interaction attractive entre électrons résultant de l'échange de phonons. Pour leur travail, ces auteurs obtinrent le prix Nobel de physique en 1972.

Origine de l'attraction entre les électrons

Il est envisageable de comprendre l'origine de l'attraction entre les électrons grâce à un argument qualitatif simple. Dans un métal, les électrons chargés négativement exercent une attraction sur les ions positifs qui se trouvent dans leur voisinage. Ces ions étant bien plus lourds que les électrons, ils ont une plus grande inertie. Pour cette raison, quand un électron est passé près d'un ensemble d'ions positifs, ces ions ne reviennent pas immédiatement à leur position d'équilibre d'origine. Il en résulte un excès de charges positives à l'endroit où cet électron est passé. Un second électron sentira par conséquent une force attractive résultant de cet excès de charges positives. Bien bien entendu, les électrons et les ions doivent être décrits par la mécanique quantique, en tenant compte de l'indiscernabilité des électrons, et cet argument qualitatif est justifié par des calculs plus rigoureux. Le traitement théorique complet utilise les méthodes de la seconde quantification, et se base sur le Hamiltonien de Frohlich :

$H=\sum_{k,\sigma} \epsilon(k) cˆ\dagger_{k,\sigma} c_{k,\sigma} + \sum_q \hbar \omega_q bˆ\dagger_q b_q + \frac{1}{\sqrt{\omega}} \sum_{k,q,\sigma} g(k,q) [cˆ\dagger_{k+q,\sigma} b_q c_{k,\sigma} + cˆ\dagger_{k+q,\sigma} bˆ\dagger_{-q} c_{k,\sigma}]$

où $c k, σ$ est un opérateur d'annihilation pour un électron de spin $σ$ , et de quasi-impulsion $k$ , $b q$ est l'opérateur d'annihilation d'un phonon de quasi-impulsion $q$ , $cˆ\dagger_{k,\sigma}$ et $bˆ\dagger_q$ sont les opérateurs de création correspondants, et $g (k, q)$ est l'élément de matrice du couplage électron-phonon. Ce terme décrit l'émission ou l'absorption de phonons par les électrons. Dans ces processus, la quasi-impulsion est conservée.

Au moyen d'une transformation canonique, on peut éliminer l'interaction électron-phonon du Hamiltonien de Frohlich pour obtenir une interaction effective entre les électrons. Une approche alternative consiste à utiliser la théorie de perturbation au second ordre dans le couplage électron phonon. Dans cette approche, un électron émet un phonon virtuel qui est aussitôt absorbé par un autre électron. Ce processus est la version quantique de l'argument qualitatif semi-classique du début du paragraphe. On trouve un élément de matrice pour l'interaction entre les électrons de la forme :

$\langle k-q,k'+q\mid V_{eff.}\mid k,k'\rangle = \frac{2 \mid g(k,q)\midˆ2 \hbar \omega_q}{(\epsilon(k)-\epsilon(k+q))ˆ2-(\hbar\omega_q)ˆ2}$

Cet élément de matrice est généralement positif, ce qui correspond à une interaction répulsive, mais pour $\mid \epsilon(k)-\epsilon(k+q)\mid <\hbar \omega_q$ ce terme devient négatif ce qui correspond à une interaction attractive. Ces interactions attractives créées par échange de bosons virtuels ne sont pas limitées à la physique de la matière condensée. Un autre exemple est l'interaction attractive entre nucléons dans les noyaux atomiques par échange de mésons prédite par Hideki Yukawa.

Conséquence de l'existence d'une interaction attractive

Leon N. Cooper a prédit en considérant deux électrons en présence d'une mer de Fermi inerte et possédant une interaction attractive faible, que quelle que soit la force de cette interaction ces deux particules formeraient un état lié, nommé paire de Cooper. Ce résultat n'est pas trivial, car il est connu en mécanique quantique, qu'en trois dimensions, pour deux particules isolées, une interaction attractive trop faible ne permet pas la formation d'états liés (voir Landau et Lifchitz t. 3). La présence de la mer de Fermi, qui interdit aux deux particules d'occuper les niveaux d'énergie inférieure à l'énergie de Fermi est l'élément qui permet l'existence de l'état lié pour une interaction faible. L'énergie de cet état lié s'annule avec la force de l'attraction avec une singularité principale, ce qui indique que l'état lié ne peut pas s'obtenir par une théorie de perturbation dans l'interaction électron-électron.

Le calcul de Cooper est critiquable en ce sens qu'il ne considère que deux électrons et suppose que les autres électrons qui sont sous la surface de Fermi échappent à l'effet de l'interaction. La théorie BCS lève cette objection en traitant l'ensemble des électrons sur un pied d'égalité. Le Hamiltonien de la théorie BCS s'écrit en seconde quantification :

$H=\sum_{k,\sigma} \epsilon(k) cˆ\dagger_{k,\sigma} c_{k,\sigma} -\frac{g}{\Omega} \sum_{k,k',q\atop \sigma,\sigma'} cˆ\dagger_{k+q,\sigma} cˆ\dagger_{k-q,\sigma'} c_{k,\sigma'}c_{k,\sigma}$

Bardeen, Cooper et Schrieffer ont introduit une fonction d'onde variationnelle pour décrite l'état essentiel de ce Hamiltonien de la forme :

$\mid \Psi\rangle =\prod_k (u_k + v_k cˆ\dagger_{k,\uparrow} cˆ\dagger_{-k,\downarrow}) \mid 0 \rangle$ .

Cette fonction d'onde variationnelle décrit la création de paires de Cooper par l'opérateur $cˆ\dagger_{k,\uparrow} cˆ\dagger_{-k,\downarrow}$ . Une paire de Cooper est par conséquent constituée de deux électrons de spin opposés et de quasi-impulsions opposées. D'une façon plus générale, une paire de Cooper est constituée de deux électrons dans des états reliés l'un à l'autre par renversement du temps. Cette propriété sert à comprendre l'existence de l'effet Meissner dans un supraconducteur. En effet, en présence d'un champ magnétique, la dégénérescence entre états reliés par renversement du temps est levée ce qui diminué l'énergie de liaison des paires de Cooper. Pour garder l'énergie libre gagnée en formant les paires de Cooper, il est avantageux quand le champ magnétique est suffisamment faible de l'expulser du supraconducteur. Au delà d'un certain champ magnétique, il est plus avantageux de détruire la supraconductivité soit localement (supraconducteurs de type II) ou globalement (supraconducteurs de type I).

La fonction d'onde de BCS présente une certaine ressemblance avec les fonctions d'onde d'états cohérents de l'oscillateur harmonique et d'une façon plus générale les fonctions d'onde d'états cohérents bosoniques. Cette ressemblance indique surtout que dans l'état essentiel du Hamiltonien de BCS la quantité : $\langle cˆ\dagger_{k,\uparrow} cˆ\dagger_{-k,\downarrow}\rangle \ne 0$ . Cette propriété est la signature d'un ordre non-diagonal à longue distance. Cet ordre non-diagonal est lié à la brisure de la symétrie de jauge U (1). En effet, si on change les phases des opérateurs de création, (ce qui est une symétrie du Hamiltonien BCS), on change la valeur moyenne du paramètre d'ordre. La fonction d'onde BCS qui a une symétrie plus basse que le Hamiltonien BCS décrit par conséquent une brisure spontanée de symétrie de jauge. Dans la théorie de Ginzburg-Landau, le paramètre d'ordre $ψ$ qui décrit l'état supraconducteur est proportionnel à $\langle cˆ\dagger_{k,\uparrow} cˆ\dagger_{-k,\downarrow}\rangle$ comme l'a montré L. P. Gor'kov par des méthodes de fonctions de Green.

Une méthode plus simple a été introduite par Bogoliubov et Valatin pour étudier le Hamiltonien BCS. Elle se base sur l'introduction de nouvelles particules par la transformation de Bogoliubov. P. W. Anderson a aussi introduit une méthode utilisant des opérateurs de pseudospins. Enfin, il est envisageable de reformuler la théorie BCS avec fonctions de Green et de diagrammes de Feynman.

Conséquences de la théorie BCS

Effet isotopique

Pic de cohérence dans le taux de relaxation $1 / T 1$ en résonance magnétique nucléaire (Hebel et Slichter).

Effet Josephson

Observation du gap supraconducteur par effet tunnel (Giæver).

Théorie d'Eliashberg

Dans certains matériaux tels que le plomb, il n'est pas envisageable de traiter l'interaction électron-phonon par la théorie des perturbations. Une théorie plus complète de la supraconductivité prenant en compte le couplage électron-phonon est indispensable. Cette théorie a été développée par Eliashberg.

Applications à l'hélium 3

Dans l'hélium 3, une transition superfluide a été observée dans les années 1970 par Douglas Osheroff, Robert C. Richardson et David M. Lee.
Comme l'hélium 3 est constitué de fermions (tandis que l'hélium 4 est constitué de bosons), cette transition de phase ne peut pas être une condensation de Bose. Cependant, la superfluidité de l'hélium 3 peut être expliquée de manière analogue à la supraconductuvité des métaux par la formation de paires de Cooper entre les atomes d'hélium 3. Il existe dans l'hélium 3 deux phases superfluides décrites par les théories de Balian-Werthamer et d'Anderson-Brinkman-Morel.

Bibliographie

Charles Kittel (trad. Nathalie Bardou, Évelyne Kolb), Physique de l'état solide (Solid state physics), 1998 [détail des éditions]
L. P. Lévy Magnétisme et Supraconductivité (EDP Sciences)
Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 9 : Physique statistique (II) , éd. MIR, Moscou [détail des éditions]
W. Jones et N. H. March Theoretical Solid State Physics (Dover)
M. Tinkham introduction to superconductivity (Mc Graw-Hill)
P. G. de Gennes superconductivity of metals and alloys (Addison-Wesley)
J. R. Schrieffer Theory of Superconductivity (Addison-Wesley)
G. Rickayzen Theory of Superconductivity (Academic Press)
J. M. Blatt Theory of Superconductivity (Academic Press)
P. W. Anderson Basic Notions of Condensed Matter Physics (Addison-Wesley)
A. L. Fetter et J. D. Walecka Quantum Theory of Many-particle systems (Dover)
G. D. Mahan Many-particle physics (Plenum)
A. A. Abrikosov, L. P. Gor'kov et I. E. Dzialoshinskii Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics (Dover)
Bardeen, Cooper et Schrieffer sur le site de la fondation Nobel
B. Douçot cours de DEA Introduction à la supraconductivité
P. Hirschfeld Solid State Physics II
P. Hirschfeld High-Temperature Superconductivity
N. B. Kopnin Theory of Superconductivity

Recherche sur Amazone (livres) :

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_BCS.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 13/04/2009.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.