Frustration géométrique

De l'ordre local au remplissage global de l'espace

Expliquer de la stabilité d'un solide est une question centrale en physique de la matière condensée. Envisageable dans le cas des molécules, les calculs quantiques les plus précis montrent fréquemment une grande diversité pour les configurations atomiques de faible énergie. Du fait de leur taille macroscopique, et par conséquent du nombre astronomique d'atomes mis en jeu, la même étude pour les solides impose que de nombreuses approximations soient faites pour calculer leur énergie de cohésion. Bien que, certains effets structuraux fins ne soient expliqués que par l'intervention de critères quantiques, il est toujours bien utile de pouvoir approximer l'énergie de cohésion comme une somme d'interactions de type classique, par exemple par des potentiels à deux ou plusieurs termes. Alors Il est fréquemment envisageable de proposer des règles locales, de nature chimique, qui mènent aux configurations de basse énergie et gouvernent l'ordre structurel ou chimique dans le dispositif reconnu. La frustration géométrique, concerne les cas où l'ordre local ne peut se propager librement dans tout l'espace. Cette définition suffisamment générale de la frustration ne se restreint pas qu'aux organisations atomique, ni même aux dispositifs discrets. Ainsi, dans les cristaux liquides, si on passe à un modèle continu, il est alors envisageable de caractériser certains dispositifs comme étant géométriquement frustrés : dispositifs de molécules cholestériques chirales ou bien ensembles de bicouches d'amphiphiles entrent dans ce cadre. Une caractéristique commune à tous ces dispositifs est que, même avec des règles locales simples, ils présentent une assez grande variété de réalisations structurales, fréquemment complexes. Cela rappelle un champ voisin de la physique, celui des dispositifs de spins frustrés, dont l'étude du paysage énergétique tourmenté a fait l'objet de contributions nombreuses et profondes. Il n'est pas inutile de préciser pour tout autant la différence avec la frustration géométrique au sens stricte. Dans les dispositifs de spins, ce n'est pas généralement la localisation des spins dans l'espace qui peut fluctuer, mais plutôt la variable interne, le spin lui-même, ou encore l'interaction entre ces spins. En conséquence, malgré une problématique commune, les méthodes d'investigation théorique changent notablement d'un cas à l'autre. La frustration géométrique est un concept unificateur, qui joue un rôle important dans des domaines particulièrement différents de la matière condensée, depuis les agrégats et les amorphes jusqu'aux fluides complexes.

L'approche générale suit deux étapes. Initialement, relaxer la contrainte de remplissage de l'espace en permettant à ce dernier de se courber. Une structure parfaite, non frustrée, est alors définie dans un espace courbe. Par la suite, des distorsions spécifiques sont appliquées à ce modèle parfait pour pouvoir le plonger dans l'espace euclidien tridimensionnel. Cela sert à décrire la structure finale comme un mélange de régions ordonnées, où l'ordre local est comparable à celui du modèle parfait, et de défauts, qui proviennent de la projection. Parmi l'ensemble des défauts envisageables, les lignes de disinclinaison jouent un rôle prépondérant.

Exemples bidimensionnels simples

Les exemples bidimensionnels sont utiles pour suivre le rôle de la compétition entre les règles et la géométrie locales et globale. Considérons un arrangement des disques semblables positionnés sur un plan (un modèle pour un hypothétique métal bidimensionnel) en supposant que l'interaction isotrope entre les disques tend localement à une organisation la plus dense envisageable. Le meilleur arrangement pour trois disques est trivialement un triangle équilatéral avec les centres de disque localisés aux sommets du triangle. L'étude de la structure à longue distance peut être réduite à un pavage du plan par des triangles équilatéraux. Dans cet exemple de structure dite hexagonale. il y a compatibilité totale entre les règles locales et globales : le dispositif est non frustré.

Dans un exemple opposé, l'énergie d'interaction est censée être minimum lorsque les atomes sont positionnés sur les sommets de pentagones réguliers. Toute tentative de propager sur une grande surface plane un pavage de ces pentagones partageant des cotés (liens atomiques) et des sommets (atomes) est impossible. C'est dû à l'impossibilité de paver le plan avec des pentagones réguliers, simplement parce que l'angle au sommet du pentagone régulier n'est pas sous multiple de 2π. Trois pentagones peuvent aisément être assemblés avec un sommet commun, mais un espace demeure entre deux arêtes. Ce genre d'anomalie est un exemple simple de «frustration géométrique».

Il y a une façon de surmonter cette impossibilité, laissons la surface à paver libre de toute topologie et métrique, et étendons le pavage de manière à satisfaire strictement la règle d'interaction locale. On observe tandis que la surface hérite de la topologie de la sphère et devient par conséquent courbe. La structure finale, un dodécaèdre pentagonal, permet par conséquent la propagation idéale de l'ordre pentagonal. C'est un modèle parfait (sans défauts) pour le dispositif reconnu.

Structures denses tétraédriques

La stabilité des métaux peut être comprise avec une image particulièrement simplifiée de la liaison métallique ne gardant que l'aspect isotrope des interactions. Les structures apparaissent alors comme des empilements dense de sphères dures en contactes. En effet les structures simples cristallines des métaux sont fréquemment les structures denses cubique à faces centrées (f. c. c. ) ou empilement hexagonal compact (h. c. p. ). Dans une certaine mesure, les métaux amorphes et les quasi-cristaux peuvent aussi être modélisés par des empilement de sphères. Le problème de l'empilement de sphères dures peut être transformé en un problème d'empilement de tétraèdres réguliers car le tétraèdre régulier est la configuration la plus dense pour quatre sphères en contactes positionnées à ses sommets. L'ordre atomique local est bien représenté par un pavage de tétraèdres, menant à un ordre icosaèdre imparfait.

Le lecteur peut s'exercer à empiler des balles de ping-pong pour former un tétraèdre régulier et chercher alors à continuer en ne formant que des tétraèdres de manière à avoir une forte compacité. Particulièrement vite il apparaît qu'on obtient une solution incompatible avec les solutions cristallines cubique à faces centrées et hexagonale compacte. Une étape de la construction donne un agrégat de sept balles : deux balles axiales en contact, entourées de cinq autres, la forme extérieure étant une bi-pyramide pentagonale presque régulière. Mais il y a désormais un réel problème de construction, comparable à celui rencontré avec le pavage pentagonal à deux dimensions. L'angle dièdre du tétraèdre n'est pas sous-multiple de 2π. En conséquence, il reste un petit interstice entre deux faces de tétraèdres voisins. En conséquence, il n'est pas envisageable de paver l'espace euclidien à 3 dimensions avec des tétraèdres réguliers. En fait la frustration a un caractère topologique : il est impossible de paver l'espace euclidien avec des tétraèdres quelconques, s'il est imposé que partout le même nombre de tétraèdres partagent une arête commune. En forçant la perfection de cet arrangement local on construit une structure non frustrée. Mais pour cela l'espace sous-jacent doit être courbé, pour permettre aux configurations tétraédriques locales de se propager sans défauts dans tout l'espace. La structure parfaite est alors un empilement régulier de 120 tétraèdres dans une hypersphère : le polytope{3, 3, 5}. Autour d'un sommet commun 20 tétraèdres forment un icosaèdre régulier.

Frustration d'orientation

Le terme de frustration géométrique est aussi utilisé en physique de la matière condensée lorsque les propriétés géométriques du réseau cristallin interdisent l'existence d'un état essentiel unique, impliquant une entropie non nulle à 0 K. Un exemple de matériau frustré géométriquement est la glace d'eau, dont l'entropie au zéro absolu vaut à peu près 3, 40 J/K/mole.

La frustration d'un dispositif de spins en est un exemple important en magnétisme. Dans ce cas elle est due à l'orientation spatiale des spins incompatible avec la minimisation de l'énergie d'interaction voir verre de spins. Un exemple simple est décrit par la figure 1. Trois ions magnétiques en interactions antiferromagnétique (i. e. les spins tendent à pointer dans la direction opposée de ses voisins) sont positionnés aux coins d'un triangle. Les deux premiers spins étant anti-parallèles, le troisième est frustré car ses deux orientations (haut ou bas) donnent la même énergie - le troisième spin ne peut pas minimiser simultanément ses interactions avec les deux autres. Ainsi l'état essentiel est deux fois dégénéré.

Une frustration géométrique peut aussi survenir quand quatre spins sont positionnés sur un tétraèdre (Figure 2). Si les spins sont en interactions antiferromagnétiques, alors il n'est pas envisageable de réarranger les spins de telle sorte que l'ensemble des interactions entre spins soient antiparallèles. Une fois toujours le dispositif est frustré.

Une conséquence de la frustration géométrique est que le niveau qui plus est basse énergie est dégénéré.

Bibliographie

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