Liquide de Luttinger

Un liquide de Tomonaga-Luttinger, ou plus couramment nommé liquide de Luttinger, est un état quantique de la matière, prédit par les modèles théoriques de particules en interaction (problème à N corps) en une dimension.

Historique

Historiquement, le terme liquide de Luttinger provient d'un article incorrect de J. M. Luttinger de 1962 sur un modèle de fermions en interaction en une dimension. Luttinger a correctement noté qu'il était envisageable de décrire le modèle en interaction en remplaçant les fermions par les composantes de Fourier de l'opérateur densité de fermions, mais il a obtenu des relations de commutations fausses pour les composantes de Fourier de cet opérateur. La solution correcte de ce modèle est due à Lieb et Mattis qui ont montré en 1965 comment régulariser les termes divergents pour obtenir les relations de commutation correctes pour les composantes de Fourier de l'opérateur densité. Ces relations de commutation sont analogues à celles des opérateurs de création et d'annihilation, c'est pourquoi la méthode utilisée pour le traitement théorique des liquides de Luttinger porte le nom de bosonisation. Il est plus correct de parler de modèle de Tomonaga-Luttinger car Sin-Itiro Tomonaga a aussi développé une méthode de bosonisation pour l'étude des fermions en une dimension. En 1969, Schotte et Schotte ont obtenu une expression des opérateurs de création et d'annihilation des fermions en termes des opérateurs de densité des fermions. Ces expressions permettent de décrire totalement le liquide de Luttinger par bosonisation. D'autre part, en 1974, A. I. Larkin et I. E. Dzialoshinskii ont pu retrouver la théorie du liquide de Luttinger par des méthodes de resommation de diagrammes de Feynman. Les modèles de fermions en interaction en une dimension ont été étudiés toujours dans les années 70 en lien avec la physique des conducteurs organiques par (entre autres) Alan Luther, Victor J. Emery, Jeno Solyom et F. Duncan M. Haldane qui est à l'origine de la terminologie "Liquide de Luttinger".

Propriétés

Le liquide de Luttinger est obtenu par exemple dans des modèles fermioniques (généralement des électrons) disposés sur un réseau uni-dimensionel (exemple : chaîne d'atomes), comme le modèle t-J ou le modèle de Hubbard. Il se définit par la séparation spin-charge (c. à . d. la propagation indépendante des excitations magnétiques et des charges), et la "collectivisation" des degrés de libertés individuels (c. à . d. que les excitations de basse énergie ne sont plus des quasiparticules possédant la statistique de Fermi-Dirac, portant une charge identique à celle de l'électron et un spin 1/2 mais des particules bosoniques décrivant des modes collectifs de charge ou de spin). Thermodynamiquement, cet état est identique au liquide de Fermi unidimensionnel (la chaleur spécifique croît linéairement avec la température, et la susceptibilité magnétique est constante selon la température) mais il se distingue du liquide de Fermi par le comportement des fonctions de réponse qui décroissent en loi de puissance avec la distance avec un exposant non-universel (c. à . d. dépendant explicitement des interactions entre les électrons) et par la disparition de la discontinuité au niveau de Fermi dans la fonction de distribution des fermions à température nulle. Cette discontinuité est remplacée par une singularité en loi de puissance avec un exposant qui dépend des interactions.

Un état de type liquide de Luttinger peut aussi être obtenu avec des bosons en interaction (par exemple dans le modèle de Lieb et Liniger) ou des spins 1/2 antiferromagnétiques toujours en une dimension. Dans le cas du dispositif de spin 1/2, le liquide de Luttinger présente des corrections logarithmiques dans la susceptibilité magnétique et dans les fonctions de réponse. L'origine de ces corrections est la présence d'un opérateur marginalement inessentiel dans le Hamiltonien du liquide de Luttinger.

Réalisation

Expérimentalement, le liquide de Luttinger a pu être mis en évidence par diffraction neutronique dans des matériaux antiferromagnétiques quasi-unidimensionnels tels que KCuF₃, qui sont bien décrits par un modèle de chaîne de spins 1/2 (voir l'article de Lake et collaborateurs). Il existe aussi des indications d'un état liquide de Luttinger dans des matériaux conducteurs tels que les conducteurs organiques de la famille (TMTTF) 2X (X=anion, TMTTF=tétraméthyltétrathiafulvalène) ou les bronzes pourpres Li_{0, 9}Mo₆O₁₇. Surtout, les expériences de photoémission ne font pas apparaitre de discontinuité dans la fonction de distribution des électrons au niveau de Fermi (voir article de revue par Allen). D'autres indications proviennent du taux de relaxation RMN 1 / T₁, de la conductivité optique et de la conductivité transverse.

D'autre part, il est envisageable de réaliser expérimentalement des dispositifs d'électrons quasi-unidimensionnels dans des fils quantiques ou avec des nanotubes de carbone monoparoi. Les mesures de conductance tunnel dans les nanotubes font apparaître une anomalie de la conductance tunnel qui peut être décrite dans le cadre de la théorie du liquide de Luttinger. Avec les fils quantiques, la séparation spin-charge a pu être mise en évidence dans une expérience de O. M. Auslænder.

Enfin, en utilisant des réseaux optiques, il est envisageable de réaliser un dispositif bosonique quasi-unidimensionnel. L'étude d'un comportement de type liquide de Luttinger dans ces dispositifs est un sujet de recherche actuel particulièrement actif.

Références

• E. H. Lieb et D. C. Mattis Mathematical Physics in One Dimension (Academic Press) Ce livre contient une réimpression des articles de Tomonaga, Luttinger et Lieb et Mattis sur les fermions en une dimension

Les livres suivants décrivent la version moderne de la théorie du liquide de Luttinger et ses applications.

• E. Fradkin Field Theories of Condensed Matter Systems (Addison Wesley)
• A. M. Tsvelik Quantum Field Theory in Condensed Matter Physics (Cambridge University Press)
• T. Giamarchi Quantum Physics in one Dimension (Oxford University Press)
• A. M. Tsvelik, A. O. Gogolin, A. A. Nersesyan Bosonization and Strongly Correlated Systems (Cambridge University Press)

Trois articles de revue théoriques (en ligne) sur les liquides de Luttinger.

• Johannes Voit Article de revue sur le liquide de Luttinger
• H. J. Schulz, G. Cuniberti, P. Pieri Fermi liquids and Luttinger liquids
• C. M. Varma, Z. Nussinov, W. van Saarloos Singular Fermi liquids

Articles de revue sur les expériences mettant en évidence un comportement liquide de Luttinger dans des métaux quasi-unidimensionnels

• J. Allen Quasi-particles and their absence in photœmission spectroscopy
• C. Bourbonnais, D. Jérome The normal phase of quasi-one-dimensional organic superconductors
• B. Lake, D. Tennant, C. Frost, S. Nagler

Quantum criticality and universal scaling of a quantum antiferromagnet (liquide de Luttinger de spin dans KCuF₃)

• Egger, R. ; Bachtold, A. ; Fuhrer, M. ; Bockrath, M. ; Cobden, D. ; McEuen, P. Luttinger liquid behavior in metallic carbon nanotubes
• O. M. Auslænder, H. Steinberg, A. Yacoby, Y. Tserkovnyak, B. I. Halperin, K. W. Baldwin, L. N. Pfeiffer, K. W. West Spin-charge separation and localization in one-dimension (liquide de Luttinger dans des fils quantiques)
• Michæl Köhl, Thilo Stöferle, Henning Moritz, Christian Schori, Tilman Esslinger 1D Bose gases in an optical lattice (bosons dans des pièges optiques)

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