Dualité T

En théorie des cordes et des supercordes la dualité T sert à désigner une dualité spécifique sous laquelle un ou plusieurs rayon de compactification est inversé.



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Théorie des cordes - Gravité quantique - Physique quantique

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En théorie des cordes et des supercordes la dualité T sert à désigner une dualité spécifique sous laquelle un ou plusieurs rayon de compactification est inversé.

Un cas simple

Considérons tout d'abord le cas le plus simple de dualité T. Si on compactifie la théorie bosonique sur un cercle de rayon R\, alors les états de vide[1] de la théorie <img class=nombre quantique m\, indique que la corde associée (ou plus exactement son centre de masse) possède un moment m/R\, dans la direction de compactification. Dans le cas où n=0\, on parle alors d'états de moment.

  • le nombre quantique n\, indique que la corde associée est enroulée n\, fois autour de la direction de compactification. Dans cet état essentiel une telle corde possède une longueur nR\, dans cette direction. Dans le cas où m=0\, on parle alors d'états d'enroulement.
  • L'étude du spectre de la théorie des cordes indique que de tels états[2] possèdent une masse m\, donnée par[3]

    
mˆ2={mˆ2\over Rˆ2}+{nˆ2Rˆ2\over \alpha'ˆ2}\,

    Le premier terme est strictement analogue à la masse d'une particule se déplaçant avec un moment m/R\, dans la direction compacte dans le cadre de la théorie de Kaluza-Klein. Le second terme est naturel puisqu'une corde est un objet possédant une tension \alpha'\,, lui imposer une longueur minimale coûte par conséquent une l'énergie proportionnelle à sa longueur.

    On voit tandis que le spectre qu'on vient de décrire est invariant sous la transformation

    
R\leftrightarrow {\alpha'\over R}\,

    à condition de procéder simultanément à l'échange

    
m\leftrightarrow n\,

    C'est-à-dire surtout que les états de moments (qui ont une interpretation particulaire en considérant le centre de masse de la corde) sont échangés avec des états d'enroulement (qui n'ont pas d'interprétation particulaire) au cours de l'opération de dualité T.

    L'opération qu'on vient de décrire correspond exactement à ce qu'on entend par dualité T dans ce cas spécifique. Du point de vue de l'espace-cible cette opération est particulièrement remarquable : à la subtilité de la constante \alpha'\, [4] près qui permet d'homogénéiser la relation d'inversion de rayon (elle a l'unité d'une longueur au carré), on voit par conséquent que compactifier la théorie des cordes sur un cercle de rayon très petit (ce qui devrait aboutir à une théorie possédant une dimension de moins si on suivait l'intuition issue de la théorie de Kaluza-Klein pour la physique des particules) est strictement équivalente à une théorie des cordes compactifiée sur un cercle de rayon très grand et qui dans la limite de particulièrement grand rayon reproduit la théorie originale non compactifiée.

    D'autre part signalons que au contraire de la symétrie de reparamétrisation qui est une caractéristique commune à l'ensemble des théories de la gravitation incorporant la relativité générale et par conséquent non spécifique à l'unique théorie des cordes seule, la dualité T est principalement cordiste dans la mesure ou pour être réalisée d'un point de vue quantique elle nécessite la prise en compte des états d'enroulement de la corde autour d'une direction de compactification or de tels états ne sauraient exister dans une théorie ou les excitations principales sont uniquement des particules (qui apporterait uniquement des états de moment mais pas d'états d'enroulement).

    Références

    (en) J. Polchinski, String theory [détail des éditions], vol. 1, chapitre 8.

    Notes

    1. ou encore états fondamentaux c'est-à-dire en absence de l'application d'opérateur de création.
    2. toujours une fois on rappelle qu'il s'agit là des états fondamentaux de la théorie mais la dualité T n'affecte pas les opérateurs de création de la théorie qui permettent d'accéder aux états excités du spectre. Prouver la dualité T sur les états fondamentaux est par conséquent équivalent à la prouver pour le spectre tout entier.
    3. On rappelle que \alpha'\, sert à désigner la constante de couplage de corde
    4. dont on voit d'ailleurs que la présence est indispensable pour que l'opération puisse avoir un sens ce qui forme toujours une façon de voir que la dualité T est spécifique à la théorie des cordes.

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