K3
En géométrie différentielle ou algébrique, l'espace K3, ou encore la surface K3, est la variété de Calabi-Yau qui plus est petite dimension différent d'un tore.
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Géométrie - Théorie des cordes - Gravité quantique - Physique quantique - Géométrie algébrique - Géométrie différentielle
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- Un fait général sur les surfaces K3 est qu'elles sont simplement connexes. (ce qui est non trivial) et que ce sont des variétés kählériennes. On sait aussi... (source : blogperso.univ-rennes1)
- Dans l'espace des modules des surfaces K3 algebriques, les classes d'iso-..... Une surface K3 est une surface complexe compl`ete X (..... existe deux fluctuetes analytiques complexes pourvues chacune d'une involution anti-... (source : springerlink)
En géométrie différentielle ou algébrique, l'espace K3, ou encore la surface K3, est la variété de Calabi-Yau qui plus est petite dimension différent d'un tore. C'est une variété complexe de dimension complexe 2[1] compacte et Kähler.
La surface K3 possède en outre la propriété d'être l'unique variété de Calabi-Yau différente du 4-tore 
d'un point de vue topologique ou différentiel. Cependant, comme variété complexe, il y a un nombre illimité de surfaces K3 non isomorphes. On peut surtout les distinguer par le biais du morphisme de Torrelli.
Caractéristiques géométrique
La plupart des surfaces K3 ne sont pas des variétés algébriques. Ceci veut dire qu'il est généralement impossible de les réaliser comme la totalité des solutions d'équations polynomiales dans un espace projectif.
Cependant, ces surfaces sont en premier lieu apparues en géométrie algébrique et leur nom provient des trois géomètres Kummer, Kähler and Kodaira.
Le groupe de cohomologie 
est un groupe abélien libre de rang 22. Il est pourvu (par le produit en cohomologie) d'une forme quadratique non dégénérée de signature (3, 19). Comme réseau, ce groupe de cohomologie contient deux facteurs de type E8. On peut décrire explicitement la base orthogonale pour cette forme quadratique en considérant le diamant de Hodge pour K3 qui s'écrit
où hi, j sont les dimensions des espaces de cohomologie de Dolbeault. D'autre part parmi les 20 (1, 1) -formes, 19 sont selfduales avec une norme positive alors que la (1, 1) forme restante, accompagnée de la (2, 0) et de la (0, 2) formes sont anti-selfduales et possèdent une norme négative.
Comme l'ensemble des Calabi-Yau non-triviaux, on ne connaît pas à ce jour de métrique Ricci-plate explicite quoique son existence soit assurée par le théorème de Yau.
Utilisation en principe des cordes
Cet espace est fréquemment utilisé comme espace de compactification en théorie des supercordes. Dans ce contexte, la surface K3 fait une apparition remarquable dans la dualité corde-corde qui affirme que la théorie de type IIA compactifiée sur la surface K3 est équivalente à la corde hétérotique compactifiée sur un tore à quatre dimensions.
Bibliographie
- (en) Paul Aspinwall, K3 Surfaces and String Duality, disponible sur l'arXiv.
- (en) David Morrison, The Geometry of K3 surfaces[pdf],
Notes
- ↑ D'où le nom de surface. Comme variété réelle, elle possède une dimension 4
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